258. Add Digits

258. Add Digits

problem

Given a non-negative integer num, repeatedly add all its digits until the result has only one digit.

For example:

Given num = 38, the process is like: 3 + 8 = 11, 1 + 1 = 2. Since 2 has only one digit, return it.

Follow up:
Could you do it without any loop/recursion in O(1) runtime?

给一个数相加它所有的数字直到剩下一个数字。并且不用递归和循环和时时间复杂度O(1).

初解：

没有考虑约束条件。

//从左往右 或从右往左 累加 结果都一样。public int addDigits(int num) {           int sum=0;        while(num>0)        {           //得到个位数字            sum+=num%10;            num=num/10;        }        //得到结果如果是个10位数继续递归        if(sum>=10)        sum = addDigits(sum);        return sum;    }

时间复杂度0（1）。

约束条件下求解,即不用递归和循环来解题。→_→

方法二 想了很久都没有思路于是从网上找答案，开始在discuss上找答案，但是完全看不懂。于是乎继续找到了一篇很好的介绍帖子。
http://my.oschina.net/Tsybius2014/blog/497645
见方法二：
但是看了之后还是不明白，想了很久终于知道为什么这么做了。。。

另一个方法比较简单，可以举例说明一下。假设输入的数字是一个5位数字num，则num的各位分别为a、b、c、d、e。有如下关系：num = a * 10000 + b * 1000 + c * 100 + d * 10 + e即：num = (a + b + c + d + e) + (a * 9999 + b * 999 + c * 99 + d * 9)因为 a * 9999 + b * 999 + c * 99 + d * 9 一定可以被9整除，因此num模除9的结果与 a + b + c + d + e 模除9的结果是一样的。对数字 a + b + c + d + e 反复执行同类操作，最后的结果就是一个 1-9 的数字加上一串数字，最左边的数字是 1-9 之间的，右侧的数字永远都是可以被9整除的。这道题最后的目标，就是不断将各位相加，相加到最后，当结果小于10时返回。因为最后结果在1-9之间，得到9之后将不会再对各位进行相加，因此不会出现结果为0的情况。因为 (x + y) % z = (x % z + y % z) % z，又因为 x % z % z = x % z，因此结果为 (num - 1) % 9 + 1，只模除9一次，并将模除后的结果加一返回。/** * 功能说明：LeetCode 258 - Add Digits * 开发人员：Tsybius2014 * 开发时间：2015年8月25日 */public class Solution {    /**     * 给定整数不断将它的各位相加，直到相加的结果小于10，返回结果     * @param num     * @return     */    public int addDigits(int num) {        return (num - 1) % 9 + 1;    }}END

因为我们的结果是 0-9的一个数字。
这里假设了我们要求的数字是个5位数字，那么 num = (a + b + c + d + e) + (a * 9999 + b * 999 + c * 99 + d * 9)
则 num%9=(a + b + c + d + e)%9.
a+b+c+d继续不断相加，那么结果必然是和num表达形式一样。
即(a+b+c+d)=(x+9*n).x是个0-9之间的数字

即 。
num%9=(x+9*n)%9
num%9-(9*n)%9=x%9
num%9-0=x*9
num%9=x (当num=9时 结果就不对了，所以转换形式)
(num-1)%9+1=x

zzzzz~