Bellman-Ford 算法 & SPFA(单源最短路问题)
来源:互联网 发布:mac qq怎么发在线文件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 18:31
一、Bellman-Ford算法
Bellman-Ford 算法是单源最短路问题的一种算法,相比 Dijkstra 算法,它可以处理含有负权回路(也叫负权环,negative cycles)的图。
Dijkstra 算法以贪心法选取未被处理的具有最小权值的节点,然后对其的出边进行松弛操作;
而 Bellman-Ford 算法简单地对所有边进行松弛操作,共|V| − 1次,其中 |V|是图的点的数量。 —— [ 维基百科 ]
至于 Bellman-Ford 算法如何判定负权回路,先要证明不存在负权回路的图的最短路径最长不会经过超过V-1条边(也可以说是没有环,这种无环路径被称为简单路径)。
因为在图中,环有零环(环上边的权重和 = 0,正环和负环类似)、正环和负环三种。如果是正环,绕一圈后路径长度反而变长,所以对最短路径没有影响;绕零环一圈也没有影响;但如果遇到负环,最短路径可以不停的绕着这个环使得路径长度越来越短,也就是没有最短路径(最短路径长度为-∞)。
也就是说,正常情况下每条边最多被松弛V-1次(请自己思考为什么),只有负权回路上的边才可以无限地松弛。Bellman-Ford 算法判定的就是是否有边在第V-1次松弛后还能继续松弛。
//Bellman-Ford 算法//distance[i]: 从源点(编号为0)到节点i的路径的距离//weight[i]: 第i条边的权重// 步骤1:初始化图for (int i=0; i<N; i++) distance[v] = INF;distance[0] = 0;// 步骤2:重复对每一条边进行松弛操作for (int k=0; k<V-1; k++) for (int i=0; i<E; i++) if (distance[u[i]] + weight[i] < distance[v[i]]) distance[v[i]] = distance[u[i]] + weight[i]; //松弛// 步骤3:检查负权环for (int i=0; i<E; i++) if (distance[u[i]] + weight[i] < distance[v[i]]) cout<<"图包含了负权环"<<endl;
当然,在步骤2中,不一定要找V-1次。在实际应用中,经常会在未达到V-1次前就出解,V-1其实是最大值。于是可以在循环中设置判定,在某次循环不再进行松弛时,直接退出循环,进行负权环判定。
// 步骤2:重复对每一条边进行松弛操作bool flag; //判定标志for (int k=0; k<V-1; k++){ flag = true; for (int i=0; i<E; i++) if (distance[u[i]] + weight[i] < distance[v[i]]) { distance[v[i]] = distance[u[i]] + weight[i]; //松弛 flag = false; } if (flag) break; //这轮循环不再进行松弛}
很明显,Bellman-Ford 算法的时间复杂度是O(|V||E|)。
二、SPFA
后来,出现了 SPFA (Shortest Path Faster Algorithm),但一般国际上不承认,因为它实际上就是 Bellman-Ford 算法的队列实现。
相对 Bellman-Ford 算法,它减少了不必要的冗余计算。 算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素, 并对所有它的邻接点进行松弛,若某个邻接点松弛成功,则将其入队,直到队列为空。
不过奇怪的是,SPFA无法处理存在负权回路的图。
(程序略)
SPFA的最坏时间复杂度也是O(|V||E|),与 Bellman-Ford 算法相同,但对于随机数据,SPFA往往只需要很短的时间就能求出最短路。
- Bellman-Ford 算法 & SPFA(单源最短路问题)
- 单源最短路问题 bellman-ford算法
- 单源最短路问题 Bellman-Ford算法
- 最短路问题(Bellman-Ford算法)
- 最短路算法(Floyd、Dijsktra、Bellman-Ford、SPFA)
- 最短路算法(Floyd、Dijsktra、Bellman-Ford、SPFA)
- 最短路算法 Dijkstra Bellman-Ford SPFA
- 练习题 No.22 单源最短路问题(Bellman-Ford算法)
- 单源最短路之spfa算法代码(bellman-ford算法的队列优化)
- 单源最短路 Bellman-Ford算法
- [单源最短路]Bellman-Ford算法
- Bellman-Ford&SPFA算法
- SPFA算法 (基于Bellman-Ford算法)
- 单源最短路问题BellMan-Ford算法C++实现关键代码
- 编程算法 - 单源最短路问题 Bellman-Ford 代码(C)
- 算法学习之Bellman-Ford单源最短路问题
- 最短路问题 Bellman-Ford算法
- 图论--最短路问题--Bellman-Ford算法
- Android动画之Animator
- Xcode7真机测试详细教程!7.2可支持ios9.2系统!
- Persistent Data Structures
- 静态变量和成员变量的区别
- 修改oracle实例名(sid)和数据库名(db_name)
- Bellman-Ford 算法 & SPFA(单源最短路问题)
- Ajax异步校验
- MySQL相关文章
- MATLAB调用c/c++ MATLAB c/c++混编
- warning C4003: “max”宏的实参不足
- 成员变量和局部变量的区别
- C++标准里 string和wstring
- 【算法16】递归算法的时间复杂度终结篇
- swift2.0中文文档