那些可以整除的数字

来源：互联网发布：冰川网络股票股吧编辑：程序博客网时间：2024/04/29 08:47

定理1：如果 $d|b$ 且正整数j<k， $\\n=(a_{k} \cdots a_1a_0)_b$ ， $\\(a_{j-1} \cdots a_1a_0)_b$ 能被 $\\ d^j$ 整除，那么 $\\(a_k \cdots a_1a_0)_b$ 能够被 $d^j$ 整除。

比如：

我们知道12564能被2整除，因为 $\\ 10\equiv 0(mod~2)$ 且4%2=0。

进一步， $\\10^j\equiv 0 (mod~2^j)$ ，12564能被4整除，因为64%4=0。而564%8!=0，所以12564%8!=0

同样，我们可以解释某些数字为什么能被5整数，能被 $5^j$ 整除

定理2：如果 $d|(b-1)$ ， $\\n=(a_{k} \cdots a_1a_0)_b$ ， $a_0+a_1+\cdots+a_k$ 能被d,那么该数字就能被d整除

比如：

我们知道 12312能被3整除，将数字12312展开成10进制后， $12312=1\times 10^4+2\times 10^3+3\times 10^2+1\times 10^1+2\times 10^0$ ，

因为 $10\equiv 1(mod~3)$ ，进一步有 $10^j \equiv 1(mod~3^j)$ 所以， $\\ 1+2+3+1+2=9\%3=0 \longrightarrow 12312\%3=0$

同样，因为 $10^j \equiv 1(mod~9^j)$ ，所以9和3拥有相同的整除性质

定理3：如果 $d|(b+1)$ ， $\\n=(a_{k} \cdots a_1a_0)_b$ ， $(a_0-a_1+\cdots+(-1)^k\times a_k)\%d=0$ ，那么n%d=0。

比如：

$\\723,160,823=7\times 10^8+2\times 10^7+3\times 10^6+1\times 10^5+6\times 10^4+0\times 10^3+8\times 10^2+2\times 10^1+3\times 10^0$

因为 $10\equiv -1(mod~11)$ ，有： $10^j \equiv (-1)^j (mod~11^j)$

那么，3-2+8-0+6-1+3-2+7=22%11=0，所以该数字能被11整除

由定理3可以得到数字7,11,13的整除判断：

因为 $7\times 11\times 13 =1001$ ，那么有： $1000\equiv -1(mod~7\times 11\times 13)$ ，所以对于一个数字 $n=(a_ka_{k-1}\cdots a_0)_{10}$ ，

如果有 $( a_2a_1a_0-a_5a_4a_3+\cdots+a_ka_{k-1}a_{k-2})$ %1001=0，那么该数字能被7,11,13整除。

如果被其中某一个数字整除，那么n能就被该数字整除。

比如：

数字n=59,358,208，208-358+59=-91能被7和13整除，但是不能被11整除，所以n能被7和13整除，但是不能够被11整除

献上一题：

nyist 105 九的余数

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=105

现在给你一个自然数n，它的位数小于等于一百万，现在你要做的就是求出这个数整除九之后的余数。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int N=1e6+10;char str[N];int main(){    int t;    cin>>t;    while(t--){        scanf("%s",str);        int len=strlen(str);        int ans=0;        for(int i=0;i<len;i++){            ans=(ans+str[i]-'0')%9;        }        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

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