局部特征(2)——Harris角点

局部特征系列：

• 局部特征(1)——入门篇

• 局部特征(2)——Harris角点 

• 局部特征(3)——SURF特征总结 

• 局部特征(4)——SIFT和SURF的比较 

• 局部特征(5)——如何利用彩色信息 Color Descriptors 

• 局部特征(6)——局部特征描述汇总 

 --------------------------------------------------------------      

Highlight: 感谢9L同学的推荐，有更优秀的文章讲解检测子：http://www.cnblogs.com/ronny/p/4009425.html  另外本人很久没再研究检测子了，本专题不再update。

        在入门篇中偶尔谈到了Harris Corner，在这里我们就重点聊一聊Harris Corner。

       Harris Corner是最典型的角点检测子Corner Detector。角点经常被检测在边缘的交界处、被遮挡的边缘、纹理性很强的部分。满足这些条件一般都是稳定的、重复性比较高的点，所以实际上他们是不是角点并不重要（因为我们的目标就是找一些稳定、重复性高的点以作为特征点）。

       Harris Corner基于二阶矩阵：

       

        这个矩阵描述了局部邻域内梯度的分布情况。矩阵的两个特征值可以用来描述两个主要方向上信号的变化，因此特征值可以用来判决是否为特征点。Harris采用的判别方法是：

    

       显而易见，cornerness的值越大，对应的两个特征值都应该很大，其中λ取0.04，是为了抑制比较明显的直线。最后对整幅图像得到的cornerness做一个非极大抑制，得到最后的特征点。Harris角点具有的优点是平移不变、旋转不变，能克服一定光照变化。可以先从一个例子上观察Harris Corner实现的过程：

        

        现在有几个问题：首先3.1式矩阵是如何推导出现的；另外一个问题是为什么3.4式用来决定是否为角点（即为何3.1式的两个特征值可以用来描述两个主要方向上信号的变化强度）。

       

• 第一个问题的解答
  要知道为什么3.1可以作为这个矩阵，我们了解一下具体怎么推出这个式子的，那这又要从Moravec算子说起，步骤如下：
  • 将要判断的点置于一个3*3或5*5的图像块的中心，如下图用红色的线环绕的图像块。
  • 将红色的框朝8个方向移动一格，得到蓝色的框（下图为向右上角移动）。导致一个缺点：响应是各向异性的（啥意思？）
  • 将红色的框和蓝色的框的相同坐标值的点的像素值相减，并求平方和，可以得到8个值。
  • 将8个值中的最小的值作为角点像素的变化值。（因为角点应该在x、y方向上变化都比较大；而在边缘上只可能一个方向大、另一个方向小）
  • 求出每一个像素点的角点像素变化值，在局部图像块中，该值最大的点为角点。

        Harris算子将Moravec算子做了两个推广：

       1）用像素的变化梯度代替像素值相减并引入高斯窗函数（举个x方向上变化的例子为证）。

            引入高斯窗是为了滤除噪声的干扰。

 [-1,0,1]:x方向上的偏导，[-1,0,1]T:y方向上的偏导。

 

        2）推广出了一个公式这样可以计算任意方向上的像素值变化，而不在是8个固定的方向。

（这里的u、v表示x/y方向的位移）

        因为Vuv（x,y）的最大值才是这个点需要被考虑的值，因此我们重写以上表达式：

                   （3.5）

        看到M矩阵的形式了么？这就是Harris算子的那个原始矩阵，我想推到这里，你也就应该了解Harris矩阵为什么是这样子的了。

 

• 第二个问题：为什么3.4可以用来描述是否为角点。

    

       那么为什么3.1式的两个特征值能够反映数据在两个方向的变化程度？

       注意（3.5）式的目标函数（最大化Vuv）。而这个目标函数与PCA的目标函数（通过最大化变化推导PCA的投影方程时）完全一致（如果你记不清这个过程，请你看这里，重点看公式2及之后的文字描述。另外我在这里的留言板中也回答了类似的问题）。特征值是十分重要的概念，不仅在这里以及PCA上，在Laplacian Eigenmaps，LDA上也相应地被使用到。

      

       那么又为什么3.4式取值较大时能保证α和β的取值都很大呢？

             a)   α和β一个大而另一个小时，det小而trace大，‘-’号就能使cornerness小（而‘+’号却使cornerness依然很大，所以必须是减号而不是加号)；

             b)   α和β都很小时，显然cornerness很小；

             c)   α和β都很大时（比参数λ更大），此时det会更大于trace从而使cornerness很大。

       可以参考这样一个图：描述了不同纹理下α和β的取值情况（其中α和β是矩阵M的两个特征值）：

• 没有什么纹理的情况下，两个值都很小（很小的正值）
• 边缘的点，一个值大，另外一个值小（由于k取了很小的值，所以3.4的结果为一个小负值）
• 角点：两个值都比较大（比较大的正值）

        这样，当我们把目标函数定义为3.4式的时候，得到的结果就会尽力满足两个特征值都比较大了。当然，除此之外，还有Harmonic mean等方式实现更理想的组合方式达到检测出的两个特征值都尽可能大。

       

 

       最后附上检测效果图（右图进行了旋转）

    两个图可以看出来Harris corner是rotation invariant，但是不是scale invariant。

------------------------------

jiang1st2010

原文地址：http://blog.csdn.net/jiang1st2010/article/details/7628665