离散--第三章

• 2.2.1 等值式与等值演算
– 等值式与基本等值式
– 真值表法与等值演算法
• 2.2.2联结词完备集
– 真值函数
– 联结词完备集

–与非联结词和或非联结词

等值式
定义2.11 若等价式AB是重言式,则称A与B等值,记作
AB, 并称AB是等值式

定义2.11若等价式AB是重言式,则称A与B等值,记作
AB, 并称AB是等值式
说明: (1)是元语言符号,不要混同于和=
(2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相
同, 即A与B有相同的真值表
(3) n个命题变项的真值表共有 个, 故每个命题公式都有
无穷多个等值的命题公式
(4) 可能有哑元出现. 在B中出现,但不在A中出现的命题变
项称作A的哑元.同样,在A中出现,但不在B中出现的命题变
项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值.
n

2

联结词完备集
定义2.13设S是一个联结词集合,如果任何n(n1)元真值函数都

可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是联结词完备集

定理2.1下述联结词集合都是完备集:
(1) S1={,,,, }
(2) S2={,,,}
(3) S3={,, }
(4) S4={,}
(5) S5={,}
(6) S6={,}

AB(AB)(BA)
AB AB
AB  (AB) (AB)
AB (AB)
AB (A)BAB

复合联结词
与非式:pq(pq),称作与非联结词
或非式:pq(pq),称作或非联结词
pq为真当且仅当p,q不同时为真
pq为真当且仅当p,q不同时为假
定理2.2{},{}是联结词完备集
证

p (pp)pp
pq  (pq) (pq)(pq)(pq)

得证{}是联结词完备集.对于{}可类似证明

2.3范式
• 2.3.1 析取范式与合取范式
– 简单析取式与简单合取式
– 析取范式与合取范式
• 2.3.2主析取范式与主合取范式
– 极小项与极大项
– 主析取范式与主合取范式
– 主范式的用途

简单析取式与简单合取式

文字:命题变项及其否定的统称
简单析取式:有限个文字构成的析取式
如 p,q,pq,pqr, …
简单合取式:有限个文字构成的合取式
如 p,q,pq,pqr, …

定理2.3(1)一个简单析取式是重言式 当且仅当 它同时含某个命题变项和它的否定
(2) 一个简单合取式是矛盾式 当且仅当 它同时含某个命题变项和它的否定

析取范式与合取范式
析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A1A2Ar,其中A1,A2,,Ar是简单合取式
合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A1A2Ar,其中A1,A2,,Ar是简单析取式
范式:析取范式与合取范式的统称
定理2.4 

(1)一个析取范式是矛盾式 当且仅当 它的每一个简单合取式都是矛盾式
(2) 一个合取范式是重言式 当且仅当 它的每一个简单析取式都是重言式

范式存在定理
定理2.5任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.
证 求公式A的范式的步骤：
(1) 消去A中的,
ABAB
AB(AB)(AB)
(2) 否定联结词的内移或消去
 AA
(AB)AB
(AB)AB

(3)使用分配律
A(BC)(AB)(AC)求合取范式
A(BC)(AB)(AC)求析取范式

例1 求(pq)r的析取范式与合取范式
解 (pq)r
 (pq)r
 (pq)r析取范式
 (pr)(qr)合取范式
注意: 公式的析取范式与合取范式不惟一.

极小项与极大项
定义2.17在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式
中,若每个命题变项或它的否定式均以文字的形式出现
且仅出现一次， 而且第i(1in)个文字(按下标或字母
顺序排列)出现在左起第i位上,称这样的简单合取式
(简单析取式)为极小项(极大项)
说明:(1)n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项
(2) 2n个极小项(极大项)均互不等值
(3) 用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十
进制表示.用M
i表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋
值的十进制表示,mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称.

主析取范式与主合取范式
主析取范式:由极小项构成的析取范式
主合取范式:由极大项构成的合取范式

例如， n=3,命题变项为p,q,r时，
(pqr)(pqr)m1m3是主析取范式
(pqr)(pqr)M1M5是主合取范式

定理2.7任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式,并且是惟一的.

求主析取范式的步骤
设公式A含命题变项p1,p2,…,pn
(1) 求A的析取范式A=B1B2… Bs,其中Bj是简单合取
式 j=1,2, … ,s
(2) 若某个Bj既不含pi,又不含pi,则将Bj展开成Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi)        这是技巧。
重复这个过程,直到所有简单合取式都是长度为n的极小
项为止
(3) 消去重复出现的极小项,即用mi代替mimi
(4) 将极小项按下标从小到大排列

求主合取范式的步骤
设公式A含命题变项p1,p2,…,pn
(1) 求A的合取范式A=B1B2… Bs,其中Bj是简单析取
式 j=1,2, … ,s
(2) 若某个Bj既不含pi,又不含pi,则将Bj展开成
B
j  Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi)
重复这个过程,直到所有简单析取式都是长度为n的极大
项为止
(3) 消去重复出现的极大项,即用Mi代替MiMi
(4) 将极大项按下标从小到大排列

实例
例1(续) 求(pq)r的主析取范式与主合取范式
解 (1) (pq)r (pq)r
pq (pq)1同一律
 (pq)(rr)排中律
 (pqr)(pqr)分配律
 m4m5
r (pp)(qq)r同一律,排中律
 (pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
 m
0m2m4m6分配律
得 (pq)r m0m2m4m5 m6
可记作  (0,2,4,5,6)

实例(续)
(2) (pq)r (pr)(qr)
pr p0r同一律
 p(qq)r矛盾律
 (pqr)(pqr)分配律
 M
1M3
qr (pp)qr同一律,矛盾律
 (pqr)(pqr)分配律
 M
3M7
得 (pq)r M1M3M7
可记作  (1,3,7)

快速求法
设公式含有n个命题变项,则
长度为k的简单合取式可展开成2n-k个极小项的析取
例如 公式含p,q,r
q  (p q  r)(p q  r) (p q  r)(p q  r)
 m2m3m6m7

在这里面，q没有变化，只是把p ,r 分是非写出来，然后就over了。

长度为k的简单析取式可展开成2n-k个极大项的合取
例如 pr (pqr)(pqr)
 M1M3

总结：

在这里面，p和r没有变化，只是把q 分是非写出来，然后就over了。

给的项越多，那么最后得到的析取越少

主析取范式的用途

(1)求公式的成真赋值和成假赋值

例如(pq)r m0m2m4m5 m6
成真赋值: 000,010,100,101,110;成假赋值: 001,011,111

(2)判断公式的类型
设A含n个命题变项， 则
A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项
A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项,记作0
A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项
(3)判断两个公式是否等值
例2.20
(4) 实际运用
例2.21

主合取范式

由主析取范式求主合取范式
总结：实际上是没有出现的极小项的其他项变成大写就是极大项了

例6求A=(pqr)(pqr)(pqr)的主合取范式
解 A m1m3m7
 M0M2M4M5M6
矛盾式的主合取范式含全部2n个极大项
重言式的主合取范式不含任何极大项, 记作1

用快速求法。求主析取式。然后根据结论求主合取式。