图像处理中的数学原理详解22——快速傅立叶变换算法FFT

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傅立叶变换以高等数学（微积分）中的傅立叶级数为基础发展而来，它是信号处理（特别是图像处理）中非常重要的一种时频变换手段，具有重要应用。在图像编码、压缩、降噪、数字水印方面都有重要意义。此外，快速傅立叶变换算法还位列20世纪十大算法之列，它是“动态规划”策略在算法设计中的杰出代表。本文将详细介绍图像中的傅立叶变换及其快速算法。对于傅立叶变换的数学原理还不是很理解的同学，建议参考本系列前面已经发布的傅立叶级数相关内容，争取彻底搞懂相关数学原理。一知半解、不求甚解，都是自欺欺人的表现。

6.1.2   数字图像的傅立叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅立叶变换，必须将函数f(t)定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅立叶变换。将连续函数f(t)等间隔采样就得到一个离散序列f(x)，假设采样N次，则这个离散序列可以表示为{f(0),f(1),f(2),...,f(N-1)}。如果令x为离散实变量，u为离散频率变量，则一维离散傅立叶变换的正变换定义为

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。从傅立叶频谱图上看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。通常，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图。在功率图中我们可以看出图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，若频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。变换最慢的频率成分（u = v = 0）对应一幅图像的平均灰度级。当从变换的原点移开时，低频对应着图像的慢变换分量，较高的频率开始对应图像中变化越来越快的灰度级。这些是物体的边缘和由灰度级的突发改变（如噪声）标志的图像成分。通常在进行傅立叶变换之前用(-1)^(x+y)乘以输入的图像函数，这样便可将傅立叶变换的原点(0,0)移到(M/2,N/2)上。

6.1.3  快速傅立叶变换的算法

离散傅立叶变换（DFT）已经成为数字信号处理和图像处理的一种重要手段，但是DFT的计算量太大，速度太慢，这令其实用性大打折扣。1965年，Cooley和Tukey提出了一种快速傅立叶变换算法（Fast Fourier Transform，FFT），极大地提供了傅立叶变换的速度。正是FFT的出现，才使得傅立叶变换得以广泛地应用。

FFT并不是一种新的变换，它只是傅立叶变换算法实现过程的一种改进。FFT中比较常用的是蝶形算法。蝶形算法主要是利用傅立叶变换的可分性、对称性和周期性来简化DFT的运算量。下面就来介绍一下蝶形算法的基本思想。

由于二维离散傅立叶变换具有可分离性， 即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到，因此仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法即可。一维离散傅立叶变换的公式为

上述FFT是将f(x)序列按x的奇偶进行分组计算的，称之为时间抽选FFT。如果将频域序列的F(u)按u的奇偶进行分组计算，也可实现快速傅立叶计算，这称为频率抽选FFT。

通过对图6-6的观察可以发现，蝶形算法的频率域是按照正常顺序排列的，而空间域是按照一种叫做“码位倒序”的方式排列的。这个倒序的过程可以采用下面的方法来实现：将十进制的数转化成二进制，然后将二进制的序列倒序重排，最后再把颠倒顺序后的二进制数转换成十进制数。倒序重排的程序是一段经典程序，它以巧妙的构思、简单的语句用完成了倒序重排的功能。表6-1给出了倒序重排的示例。

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