[解题报告]POJ-2698-八皇后问题

一、题目

2698:八皇后问题

原题链接：http://poj.grids.cn/practice/2698/

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描述

在国际象棋棋盘上放置八个皇后，要求每两个皇后之间不能直接吃掉对方。

输入

无输入。

输出

按给定顺序和格式输出所有八皇后问题的解（见Sample Output）。

样例输入

样例输出

No. 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 

 No. 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 

 No. 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 

 No. 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 

 No. 50 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 

 No. 60 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 

 No. 70 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 

 No. 80 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 

 No. 90 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...

以下省略...

提示  此题可使用函数递归调用的方法求解。

二、分析   

 1、递归法；2、交表法

八皇后问题经典解析：

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使 其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种方法可 以解决此问题。

摘自百度百科
解题思路:深度搜索加记忆数组
*因为皇后不能处于同一行,同一列,同一斜线(即主对角线和副对角线),所以可以判断出8个皇后分别各占一行
*不妨假设从第一行开始,行数依次加一确定每一行皇后的位置,在下面的程序中cur代表行号,因为我们依次让
*行号加一,所以不会存在行号重叠的现象,接下来只需判断列数和对角线没有发生重叠即可,这里,我们用一个记
*忆状态的数组(vis[][])来存储列和对角线的状态,每次确定一个皇后的位置,首先判断其对应的列和对角线是否
*染色,如果没有染色,则该位置有效,并染色,这样就不会出现列和对角线重叠的问题.
下面重点讲解一下对角线,其原理可用下图说明：

 (格子(i-j)的值标示了主对角线)
同理读者自行可以推出
 (格子(i+j)的值标示了副对角线)
又因为主对角线的值有为负数的情况,所以我们在标记的时候应该加>=7的数,所有值都加了>=7所以标记的效果并没有改变

简化版代码：

1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 bool vis[3][30];//记忆数组判断列,主对角线,副对角线是否被占
4 int ans=0;
5 void dfs(int cur)
6 {
7 if(cur==9)//如果当前行数超过8(表明八个皇后已经放好)则结果加一，返回继续递归
8 {
9 ans++;
10 return ;
11 }
12 //vis[0][i]判断列,vis[i][cur-i+8]判断主对角线,vis[2][cur+i]判断副对角线
13 for(int i=1;i<=8;i++)if(!vis[0][i]&&!vis[1][cur-i+8]&&!vis[2][cur+i])
14 {
15 vis[0][i]=vis[1][cur-i+8]=vis[2][cur+i]=true;
16 dfs(cur+1);//深度搜索
17 vis[0][i]=vis[1][cur-i+8]=vis[2][cur+i]=false;
18 }
19 }
20 int main()
21 {
22 dfs(1);//初始化cur为1,即从第一行开始
23 cout<<"有 "<<ans<<" 种结果."<<endl;
24 system("pause");
25 return 0;
26 }

三、AC源代码

1、递归求解

1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3
4 bool vis[3][20];//记忆数组判断列,主对角线,副对角线是否被占
5 int ans=0,num=1;
6 int p=0,pos[8];
7
8 void dfs(int cur);
9 void print();
10
11 int main()
12 {
13 dfs(1);//初始化cur为0,即从第一行开始
14 return 0;
15 }
16
17 void dfs(int cur)
18 {
19 if(cur>8)//如果当前行数超过8(表明八个皇后已经放好)则结果加一，返回继续递归
20 {
21 ans++;
22 print();
23 return;
24 }
25 //vis[0][i]判断列,vis[i][cur-i+8]判断主对角线,vis[2][cur+i]判断副对角线
26 for(int i=1;i<=8;i++)
27 if(!vis[0][i]&&!vis[1][cur-i+8]&&!vis[2][cur+i])
28 {
29 pos[p++]=i;
30 vis[0][i]=vis[1][cur-i+8]=vis[2][cur+i]=true;
31 dfs(cur+1);//深度搜索
32 vis[0][i]=vis[1][cur-i+8]=vis[2][cur+i]=false;
33 p--;
34 }
35 }
36
37 void print()
38 {
39 int i,j;
40 cout<<"No. "<<num++<<endl;
41 for(i=0;i<8;i++)
42 {
43 for(j=0;j<8;j++)
44 if(i==pos[j]-1)
45 cout<<"1 ";
46 else
47 cout<<"0 ";
48 cout<<endl;
49 }
50 /*for(i=0;i<8;i++)
51 cout<<pos[i];
52 cout<<endl;*/
53 }

2、直接交表

1 #include <stdio.h>
2 int pos[736]={1,5,8,6,3,7,2,4,1,6,8,3,7,4,2,5,1,7,4,6,8,2,5,3,1,7,5,8,2,4,6,3,2,4,6,8,3,1,7,5,2,5,7,1,3,8,6,4,2,5,7,4,1,8,6,3,2,6,1,7,4,8,3,5,2,6,8,3,1,4,7,5,2,7,3,6,8,5,1,4,2,7,5,8,1,4,6,3,2,8,6,1,3,5,7,4,3,1,7,5,8,2,4,6,3,5,2,8,1,7,4,6,3,5,2,8,6,4,7,1,3,5,7,1,4,2,8,6,3,5,8,4,1,7,2,6,3,6,2,5,8,1,7,4,3,6,2,7,1,4,8,5,3,6,2,7,5,1,8,4,3,6,4,1,8,5,7,2,3,6,4,2,8,5,7,1,3,6,8,1,4,7,5,2,3,6,8,1,5,7,2,4,3,6,8,2,4,1,7,5,3,7,2,8,5,1,4,6,3,7,2,8,6,4,1,5,3,8,4,7,1,6,2,5,4,1,5,8,2,7,3,6,4,1,5,8,6,3,7,2,4,2,5,8,6,1,3,7,4,2,7,3,6,8,1,5,4,2,7,3,6,8,5,1,4,2,7,5,1,8,6,3,4,2,8,5,7,1,3,6,4,2,8,6,1,3,5,7,4,6,1,5,2,8,3,7,4,6,8,2,7,1,3,5,4,6,8,3,1,7,5,2,4,7,1,8,5,2,6,3,4,7,3,8,2,5,1,6,4,7,5,2,6,1,3,8,4,7,5,3,1,6,8,2,4,8,1,3,6,2,7,5,4,8,1,5,7,2,6,3,4,8,5,3,1,7,2,6,5,1,4,6,8,2,7,3,5,1,8,4,2,7,3,6,5,1,8,6,3,7,2,4,5,2,4,6,8,3,1,7,5,2,4,7,3,8,6,1,5,2,6,1,7,4,8,3,5,2,8,1,4,7,3,6,5,3,1,6,8,2,4,7,5,3,1,7,2,8,6,4,5,3,8,4,7,1,6,2,5,7,1,3,8,6,4,2,5,7,1,4,2,8,6,3,5,7,2,4,8,1,3,6,5,7,2,6,3,1,4,8,5,7,2,6,3,1,8,4,5,7,4,1,3,8,6,2,5,8,4,1,3,6,2,7,5,8,4,1,7,2,6,3,6,1,5,2,8,3,7,4,6,2,7,1,3,5,8,4,6,2,7,1,4,8,5,3,6,3,1,7,5,8,2,4,6,3,1,8,4,2,7,5,6,3,1,8,5,2,4,7,6,3,5,7,1,4,2,8,6,3,5,8,1,4,2,7,6,3,7,2,4,8,1,5,6,3,7,2,8,5,1,4,6,3,7,4,1,8,2,5,6,4,1,5,8,2,7,3,6,4,2,8,5,7,1,3,6,4,7,1,3,5,2,8,6,4,7,1,8,2,5,3,6,8,2,4,1,7,5,3,7,1,3,8,6,4,2,5,7,2,4,1,8,5,3,6,7,2,6,3,1,4,8,5,7,3,1,6,8,5,2,4,7,3,8,2,5,1,6,4,7,4,2,5,8,1,3,6,7,4,2,8,6,1,3,5,7,5,3,1,6,8,2,4,8,2,4,1,7,5,3,6,8,2,5,3,1,7,4,6,8,3,1,6,2,5,7,4,8,4,1,3,6,2,7,5};
3 int main()
4 {
5 int i,j,n=92;
6 while(n--)
7 {
8 printf("No. %d\n",92-n);
9 for(i=0;i<8;i++)
10 {
11 for(j=0;j<8;j++)
12 if(i==pos[(91-n)*8+j]-1)
13 printf("1 ");
14 else
15 printf("0 ");
16 printf("\n");
17 }
18 }
19 return 0;
20 }