nyoj 982

Triangle Counting

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难度：3

描述

You are given n rods of length 1, 2…, n. You have to pick any 3 of them and build a triangle. How many distinct triangles can you make? Note that, two triangles will be considered different if they have at least 1 pair of arms with different length.

输入

The input for each case will have only a single positive integer n(1<=n<=1000000). The end of input will be indicated by a case with n<1. This case should not be processed.

输出

For each test case, print the number of distinct triangles you can make.

样例输入

580

样例输出

3
22

解题思路：这道题目的题意很简单，给出n条线段，长度为1-n，问有多少种方法可以从这n条线段中取出3条不同的线段，使得以它们为三边长可以组成三角形。这是一个纯数学推理问题。我们首先假设最大边为x，其余两边为y，z那么有不等式y+z>x。那么z的范围是x-y<z<x，接下来的工作就是枚举y的范围，然后看z能够取多少。

假设C(x)为最大边为x时，能得到的三角形个数，假设y从1-（x-1）枚举一遍，那么z所能取到的个数分别为0,1,2,......,x-2;所以总共有(x-1)(x-2)/2个，但是还没完，题目中的三条边都不能相等，但这里面出现了y=z的情况，所以要将这种情况去掉，并且每个三角形重复了一次，所以最后还要除以2。。要保证y=z的情况出现，那么y只能从最小的x/2+1开始，一直到x-1为止，总共出现了（x-1）-（x/2+1)+1=x/2-1，考虑到x的奇偶性，有 （x-1）/2个y=z的情况出现。。那么C(x)=((x-1)*(x-2)/2-(x-1)/2)/2。f(n) = C(1)+C(2)+......+C(n) = f(n-1)+C(n)。。

AC:

#include<iostream>using namespace std;long long f[1000005];int main(){f[1] = f[2] = f[3] = 0;for(int i = 4; i <= 1000000; i++)f[i] = f[i-1] + ((i-1)*(i-2)/2 - (i-1)/2)/2;int n;while(cin>>n){if(n < 1) break;cout<<f[n]<<endl;}return 0;}