堆排序——HeapSort

堆排序：

堆排序与归并排序的时间复杂度一样，同为O(nlogn)，但与归并排序不同的是，堆排序具有空间原址性：任何时候都只需要常数个额外的空间存储临时数据。

堆的定义：

（二叉）堆是一个数组，可以被看成是一个近似的完全二叉树。树上的每个结点对应数组中的一个元素。除了最顶层外，树应该是充满的，且为从左向右填充。

二叉堆通常分为两种：最大堆和最小堆。
最大堆：堆中的最大元素存放在根节点中，并且在任何一个子树中，该子树所包含的所有结点的值都不大于该子树的根结点的值。最大堆性质如下：

            A[i / 2] >= A[i]

最小堆的性质与最大堆正好相反：

            A[i / 2] <= A[i]

要使用堆排序，就要熟悉堆的基本操作：维护堆的性质（最大堆为例）。

给性一个数组A和其一个下标i，在维护堆的性质时，i的左孩子或右孩子有可能大于i结点的值，这样就不符合堆的性质了。要维护最大堆的性质，就要让A[i]的值在最大堆中“逐级下降”，使得以下标为i为根结点的子树重新具有最大堆的性质。

下面是维护最大堆过程：

/* length为数组是长度，i为最后一个非叶子结点 */void Max_Heapify(int A[], int length, int i)//维护最大堆{    int left = 2 * i;    int right = 2 * i + 1;    int largest;  //largest暂存值最大的节点的下标    if(left < length && A[left] > A[i])        largest = left;    eles        largest = i;    if(right < length && A[right] > A[largest])//选出结点值最大的下标        largest = right;    if(i != largest)//若最大值不为根结点，则把最大值交换至根节点处        swap(&A[largest], &A[i]);        Max_Heapify(A, length, largest);//继续维护以largest为根结点的子树}

有了维护最大堆的过程，下面就可以由给出的数组来建一个最大堆了。字数组A([n / 2]…n)中的元素都是叶子结点，每个叶子结点可以看成只包含一个元素的堆。

void BuildHeap(int A[], int length){    int i;    for(i = length / 2; i >= 1; i--)//从最后一个非叶子结点开始建最大堆        Max_Heapify(A, length, i);}

开始时，堆排序算法利用Max_Heapify将输入的数组A[]建成最大堆，由于数组中的最大元素总是存放在根结点A[1]中，通过让它与A[n]互换，可以将最大值放在正确的位置。接下来，将n结点去掉，n的孩子结点仍然满足最大堆的性质，而新的根结点不一定满足，所以就要调用Max_Heapify()来调整新的根节点。以使其满足最大堆性质，从而在A[1…n-1]上新建一个最大堆。重复这一过程，直至堆的大小从n - 1降到2.

代码如下：

void heap_sort(int A[], int length){    int size = length;    BuildHeap(A, size);     //建立最大堆    while(size > 1)    {        swap(&A[size - 1], &A[1]);   //每次将最大的值放到正确的位置        size--;        Max_Heapify(A, size, 1);  //将剩下的元素重新建堆    }}