堆排序（heapsort）

堆的性质

堆排序的时间复杂度是O(n lgn) ，使用一种称之为“堆”的数据结构来进行信息管理。堆不仅在堆排序中，也可以构造一种有效的优先队列。

堆是一个数组，它可以看成一棵完全二叉树。树上的每个结点对应数组中的一个元素。除了最底层外，保证树是完满的，而且是从左向右填充的。

二叉堆分为两种形式：最大堆和最小堆

在最大堆中，最大堆的性质是指除了根结点以外的所有结点i都要满足A[parent(i)]>=a[i] 也就是说，每个结点至多与其父结点一样大。因此，堆中的最大的元素存放在根结点中，最小堆与其类似。

维护堆的性质

我们假定需要维护的结点i的左子树与其右子树都是最大堆。这时A[i]可能小于其子结点，这样就违背了最大堆性质。通过让A[i]的值在最大堆中“逐级下降”，使得以下标为i为根结点的子树重新遵循最大堆的性质。

int max_heapify(int i){    int large = i;    int l = left(i);    int r = right(i);    if(l <= heap_size && heap[large] < heap[l]) large = l;    if(r <= heap_size && heap[large] < heap[r]) large = r;    if(large != i){        int swap = heap[i];        heap[i] = heap[large];        heap[large] = swap;        max_heapify(large);    }    return heap[i];}

建立最大堆

可以利用自底向上的方法，利用过程max_heapify将某一数组转换为最大堆：

int build_max_heap(){    scanf("%d", &heap_size);    int init_loop;    for(init_loop = 1; init_loop <= heap_size; init_loop++) scanf("%d", heap+init_loop);    int build_loop;    for(build_loop = heap_size / 2; build_loop >= 1; build_loop--) max_heapify(build_loop);}

堆排序

build_max_heap();int memory_list_size = heap_size;int sort_loop;for(sort_loop = memory_list_size; sort_loop >1; sort_loop--){int swap = heap[1];heap[1] = heap[sort_loop];heap[sort_loop] = swap;heap_size--;max_heapify(1);}

优先队列

优先队列是一种用来维护由一组元素构成的集合S的数据结构。其中每一个元素都有一个相关的值，称为关键字。

最大优先队列支持一下操作：

插入、返回S中具有最大键字的元素、删除S中最大键字的元素、将元素x关键字增值到k

#include <stdio.h>#define _MAX_QUEUE_SIZE_ 21#define _QUEUE_FILL_ERROR_STRING_ "Error, queue filled.\n"#define _QUEUE_EMPTY_ERROR_STRING_ "Error, queue empty.\n"int heap[_MAX_QUEUE_SIZE_];int heap_size;int father(int i) { return i / 2; }int left(int i) { return i * 2; }int right(int i) { return i * 2 + 1; }void init(){heap_size = 0;}void insert(int i){if(heap_size == _MAX_QUEUE_SIZE_) { printf(_QUEUE_FILL_ERROR_STRING_); return ; }heap_size++;heap[heap_size] = i;int value_pointer = heap_size;int f = father(value_pointer);while(f != 0 && heap[f] < heap[value_pointer]){int swap = heap[f];heap[f] = heap[value_pointer];heap[value_pointer] = swap;value_pointer = f;f = father(value_pointer);}}int maximum() { return heap[1]; }void max_heapity(int i){int large = i;int r = right(i);int l = left(i);if(r <= heap_size && heap[r] > heap[large]) large = r;if(l <= heap_size && heap[l] > heap[large]) large = l;if(large != i){int swap = heap[large];heap[large] = heap[i];heap[i] = swap;max_heapity(large);}}int extract_max(){if(heap_size == 0) { printf(_QUEUE_EMPTY_ERROR_STRING_); return ; }int swap = heap[1];heap[1] = heap[heap_size];heap[heap_size] = swap;heap_size--;if(heap_size != 0) max_heapity(1);}void increase_key(int k, int v){int old_value = heap[k];int new_value = heap[k] + v;if(new_value < old_value){max_heapity(k);}else{int value_pointer = k;int father_pointer = father(value_pointer);while(father_pointer != 0 && heap[father_pointer] < heap[value_pointer]){int swap = heap[father_pointer];heap[father_pointer] = heap[value_pointer];heap[value_pointer] = swap;value_pointer = father_pointer;father_pointer = father(value_pointer);}}}