3. 广义逆矩阵

3.1 定义

• 广义逆
  Am×n,Xm×n，若X满足moore-penrose条件

  1. AXA=A
  2. XAX=X
  3. (AX)H=AX
  4. (XA)H=XA
     中的一部分，称X是A的广义逆矩阵, 简称广义逆

• 伪逆A+

  • 如果X满足上述所有moore-penrose条件，则称X是A的伪逆，或加号逆（M-P逆），记为A+, 若A可逆，则A−1=A+。
  • ∀An×n∈C，A+ 存在且唯一。
  • 性质
    
    1. AA+A=A
    2. A+AA+=A+
    3. (AA+)H=AA+
    4. (A+A)H=A+A

• 伪逆的运算
  设An×n∈C，则

  1. 伪逆的伪逆是自己，(A+)+=A
  2. 共轭转置的伪逆=伪逆的共轭转置，(AH)+=(A+)H
  3. 转置的伪逆=伪逆的转置，(AT)+=(A+)T
  4. (AHA)+=A+(AH)+，(AAH)+=(AH)+A+
  5. 一般的伪逆不能去括号，(AB)+≠B+A+
  6. 一般地，A乘A的伪逆不等于单位阵，A+A≠AA+≠I
  7. 伪逆的秩=本身的秩，r(A+)=r(A)
  8. A+=(AHA)+AH=AH(AAH)+
  9. 伪逆的像空间=共轭转置的像空间R(A+)=R(AH)
  10. 伪逆的核空间=共轭转置的核空间N(A+)=N(AH)
      

• A的{n}逆
  满足第n个moore-pensore条件的广义逆叫做A的{n}逆，记作A(n), n=1,2,3,4，如：

  1. 满足第1个mp条件为A的{1}逆，可写作A(1)，常记作A−，也叫A的减号逆
  2. 满足第2,3个mp条件的为A的{2,3}逆，可写作A(2,3)
     以上均是A的广义逆

3.2 伪逆A+的求法

• 满秩分解求A+
  对于Arm×n, r > 0, A有满秩分解 A=Fm×rGr×n(列满秩×行满秩),则
  A+=GH(GGH)−1(FHF)−1FH=GH(FHAGH)−1FH
  特别地，
  当A列满秩，r=n时，A+=(AHA)−1AH
  当A行满秩，r=m时，A+=AH(AAH)−1

• 奇异值分解求A+
  对于Arm×n,r>0, A有奇异值分解
  

  A=V(Sr000)UH
  
  则有
  
  A+=U(S−1r000)VH
  
  即UV位置对换，Sr取逆，对角元全变倒数：Sr−1=diag(σ−11,…σ−1r)
  或者，只需要U, U=(U1,U2), 则A+=U1Λ−1rUH1AH, 这里Λr=S2r=diag(λ1,…,λn)

• 奇异值分解求A+的简化步骤：

  1. 求出AHA的r个非0特征值
  2. 求出相应的特征向量，并schmidt正交化，组成酉高矩阵U1
  3. 
     
     A+=U1⎛⎝⎜⎜⎜λ−11⋱λ−1r⎞⎠⎟⎟⎟UH1AH

• 秩1公式求A+：若r(A)=1, 则

  A+=1∑|aij|2AH

• 谱分解求A+ (这个部分有些问题。。。有空再改)
  AHA有k个相异的特征值，AHA的谱分解为

  AHA=∑i=1kλiGi
  
  这里Gi=XiYi，Xi是P的各列向量，Yi是P−1的各行向量，P是AHA相似对角化时的可逆阵P, 则
  
  A+=∑i=1kλiϕi(AHA)ϕi(λi)AH
  
  其中
  ϕi(λ)=∏j=1,i≠jk(λ−λj)

3.3 广义逆与线性方程组

• 方程组相容：
  即Ax=b有解（当且仅当A列满秩时解唯一, Am×n）
  Ax=b相容的充要条件为AA−b=b, 其通解为：

  x=A−b+(In−A−A)y
  
  y为n阶任意列向量，因为A+是A−的子集，所以将A−替换为A+也成立(这里的In的阶数与A的列数相等)：
  x=A+b+(In−A+A)y
  
  极小范数解为：
  x0=A+b

• 方程组不相容：
  x的最小二乘解的通解为：
  

  x=A+b+(In−A+A)y
  
  当且仅当A列满秩时，不相容方程组Ax=b的最小二乘解唯一，是：
  
  x0=A+b
  
  当A非列满秩时,最小二乘解不唯一，但上式是极小范数最小二乘解, 且唯一。

3.4 A的{1}逆A−的求法

对于Am×n,∃Pm,Qn可逆，使得

PAQ=(Ir000)UH

则

A−={Q(IrX21X12X22)PX12,X21,X22为任意适当阶子块}

Xr×(m−r)12，X(n−r)×r12，X(n−r)×(m−r)22可取0, 则

A−=Q(Ir000)P

特别地，当An×n 为方阵且可逆时，有

PAQ=In

此时

A−=QInP=QP=A−1

• 初等行变换求P, Q
  
  (Am×nInIm0)⟶⎛⎝⎜⎜(In000)QP0⎞⎠⎟⎟