HDOJ 2604 Queuing (递推+矩阵快速幂)
来源:互联网 发布:电脑转盘抽奖软件 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 23:09
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题意:给你一个长度为L的由m和f两种字母组成的字符串,定义存在fmf以及fff子串的都是不符合要求的串,问长度为L的符合要求的串有多少个?
解题思路:
首先找出递推关系式,先给出递推关系式:( L )=( L - 1 ) + ( L - 3 ) + ( L - 4 ); (L>=5,因为L=0比较特殊,如果L=4也用递推式算,得不到正确答案)
考虑当L=n时的情况,有两种情况:
①.如果最后一个字符为m :此时,只要前面长度为n-1的串符合要求,则当前长度为n的串必然符合要求。
②.如果最后一个字符为f:此时,无法确定,因为可能存在不符合要求的串,继续分情况讨论
(1).最后倒数二个字符为f,仍然可能存在不符合要求的串,继续分情况讨论
1.倒数第三个字符为f,因为存在fff,所以该种情况必然不符合要求,舍去
2.倒数第三个字符为m,仍然有可能不符合要求,再分
a.最后第四个字符为f,存在fmf,所以该种情况必然不符合要求,舍去
b.最后第四个字符为m,只要前面长度为n-4的串符合要求,则当前长度为n的串必然也符合要求
(2).最后第二个字符为m,存在可能不符合要求的情况,分
1.最后第三个字符为f,存在fmf,此时必然不符合要求舍去
2.最后第三个字符为m,只要前面长度为n-3的串的情况符合要求,则当前长度为n的串必然符合要求。
所以讲符合要求的情况相加就得到:( L )=( L - 1 ) + ( L - 3 ) + ( L - 4 );
前面已经讲过如果只是用普通递归方法会超内存,所以这里要考虑优化。
怎么优化?先看下面的矩阵相乘的结果:
x矩阵是多少会得到后面的矩阵?我们只需考虑后面矩阵的第一行,因为其他元素为0.
第1行第1列的元素我们需要得到f ( n ),因为f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4); 所以我们必须保留f(n-1),f(n-3),f(n-4) 所以与之相乘的数必须为1.
所以第1列元素可以确定,为1 0 1 1,注意,是第一列而不是第一行。
根据第一行第二列元素,我们可以确定x矩阵第二列元素:1 0 0 0.
根据第一行第三列元素,我们可以确定x矩阵第三列元素:0 1 0 0.
根据第一行第四列元素,我们可以确定x矩阵第四列元素:0 0 1 0.
所以x矩阵已经确定,所以我们可以得到下面的矩阵乘式:
所以,反复乘以x矩阵就可以得到想要的f(n);
所以可以先求出x矩阵的L-4(不是L)次方,到这就转化为了矩阵快速幂问题。
#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>struct matrix{int a[10][10];}base,ans;int l, m;matrix multiply(matrix x, matrix y){ matrix tmp; for (int i = 0; i < 4; i++) for (int j = 0; j < 4; j++) { tmp.a[i][j] = 0; for (int k = 0; k < 4; k++) tmp.a[i][j] = (tmp.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j]) % m; } return tmp;}int fast_mod(int k){ while (k) { if (k & 1) ans = multiply(ans, base); base = multiply(base, base); k >>= 1; } return ans.a[0][0];}int main(){ int k; while (scanf("%d%d", &l, &m) != EOF) { memset(ans.a, 0, sizeof(ans.a)); ans.a[0][3] = 2 % m; ans.a[0][2] = 4 % m; ans.a[0][1] = 6 % m; ans.a[0][0] = 9 % m; memset(base.a, 0, sizeof(base.a)); base.a[0][0] = base.a[0][1] = base.a[1][2] = base.a[2][0] = base.a[2][3] = base.a[3][0] = 1; k = l - 4; if (k <= 0) printf("%d\n", ans.a[0][4-l]); else printf("%d\n", fast_mod(k)); } return 0;}
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