证明sigma i^2=n(n+1)(2n+1)6

证明∑ⁿ_(i=1)i² = n(n+1)(2n+1)/6

方法一（数学归纳法）：

1）当n=1时，1²=1=1*2*3/6，命题成立；

2）当n=k时，假设∑^k_(i=1)i²=k(k+1)(2k+1)/6成立；

当n=k+1时，

∑ⁿ_(i=1)i²=∑^k_(i=1)i²+(k+1)²

=(k+1)[1/6*k(2k+1)+(k+1)]

=(k+1)[1/3*k²+1/6*k+k+1]

=(k+1)(1/3*k²+7/6*k+1)

=1/6*(k+1)(2k²+7k+6)

=1/6*(k+1)(k+2)(2k+3)

=1/6*(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

即当n=k+1时，命题也成立；

综上，命题得证。

 

方法二（待定系数法）：

假设∑ⁿ_(i=1)i²=an³+bn²+cn+d······1；

当n=1时，有d=0······2；

当n=2时，有a+b+c=1······3；

当n=3时，有8a+4b+2c=5······4；

当n=4时，有27a+9b+3c=14······5；

由2、3、4、5解得

a =1/3, b = 1/2, c = 1/6;

代入1式

∑ⁿ_(i=1)i²=1/3n³+1/2n²+1/6n=n(n+1)(2n+1)/6