小结（2016-02-02至2016-02-13）

目标

上次的总结中：

这个寒假还有好多作业……
BZOJ目前已经切了前16道，这个假期切完前25道就好了……
下学期要把学校的题都完成，也把BZOJ第一版做得差不多了.

然而很明显没有继续切下去，因为觉得有更好的选择，倒是把学校OJ的一版给做完了.
重新组织一下下学期的目标：完成初中的所有题，完成UOJ第一版.

这个假期的OI训练告一段落，除了GDKOI前还会做一点水题练手感.

收获

接下来总结一下这两个星期的收获.

一. 分块

CodeVS 1080 线段树练习
BZOJ 2002 弹飞绵羊
CodeChef Chef and Churus
CodeForces #80 Div 1 D

分块，是在想不到其他方法的时候才用的，很多时候可以骗大量部分分.
三种分块类型：对位置分块，对数值大小分块，对操作分块.

二. 同构问题（整体判断问题）

BZOJ 4337 树的同构
①可以用Hash或者枚举.
②为了提高准确率，可以考虑使用多个Hash.
③注意设计的算法要与编号无关.
④除非进行一次枚举，求出n个hash值.
④这种方法可以应用于所有的判断相同整体的问题上.

三. 同余类分析

BZOJ 2118 墨墨的等式
PC 1325 长途旅行

当权值过大的时候，考虑使用这种方法.

这种问题求解的，通常是方案值的存在性问题和计数问题.

一般选取的同余值A，要满足：若方案值为p是可以的，那么方案值为p+A也是可以的.

通常这种方法会涉及最短路算法.

四. 权值过大的调整思路

我们在使用基于权值的数组计算时，可能会应该目标太大而出现MLE和TLE的情况。
假如还是使用相同的方法，我们可以做如下几种常见的调整：离散化，按权值大小分块，同余类分析。

五. BigNumber

①用字符串存储，注意不要误用int；
②注意比较数的大小的时候，首先要比较长度，然后再按字典序比较；
③涉及运算时要用数组倒着存，高精度模拟；

六. 字典序比较

UOJ #9 vfk的数据

【方法1】逐位比较，O(L).

【方法2】求Hash，二分找最大相同位，比较下一位.
预处理O(L)，比较O(logL).

七. 排序

其实有时候，快排未必是最佳选择，我们需要熟悉多种排序.

排序的常用方法：
①冒泡排序：针对小数据；
②快速排序/sort：普通数据；
③基数排序/Trie树排序：当元素的种类很少时考虑使用；
不要忽略方法①和方法③.

八. 逆向回代法

XSY 1335 寿司晚宴
PC 1326 数列

逆向回代法，通常是利用强制在线的漏洞.
漏洞通常的表现为：上次的答案加上这次的读入，上次的答案异或这次的读入；

要满足这两个条件才能使用：
①知道或可以快速算出最后一次的答案
②当前知道本次的答案和本次加密的某些数值，要求上一次的答案.
可以将上一次的答案设为未知数，代入本次得到的等式解方程.

九. 积性函数 欧拉线性筛

要求1：会基本的线性筛
要求2：会求以下的积性函数
①欧拉函数phi
②莫比乌斯函数μ
③约数个数d
④约数和s
⑤乘法逆元inv

十. 经典问题：修改元素成为LIS

PC 1329
PC 1304

ai:=ai−i，然后求LIS.

十一. 经典问题：区间存在一个数整除其他所有数

PC 1328

等价于区间gcd=区间min.

十二. 差分约束

若di+x≥dj，则add(i→j,x)，求最短路.
注意小于与小于等于的转化.

初始赋值：
如果要使得相差尽可能小，则di=0；
如果要求点i离得最远的点，di=0，dj=无限大；

十三. 经典问题：给点判断有多少对满足形状

PC 1321 四轮车

这种判断形状的题目，如果使用的方法跟点的位置关系有关，随便设置一种点的位置关系即可，然后除去重复数

十四. 经典问题：前缀和维护al∗1+al+1∗2+...+ar∗(r−l)

记两个前缀和数组.

十五. 思考问题的调整方法（重要！！！）

思想问题时的调整：
- 优化：探究性质，数据结构，算法；
- 重述：从不同的角度重新表述问题；
- 转化：转化问题；
- 逐步满足：先满足一个条件，然后再将一个条件与两个条件建立关系；
- 普遍性：先考虑一般性的问题，然后再与原问题建立类比的联系；
- 特殊性：先考虑特殊性的问题，然后再与原问题建立类比的联系；

十六. 最优性问题

最优性问题，通常有枚举检索、参数搜索、贪心、动态规划的思路.

十七. 博弈问题

PC 1313 日历游戏

博弈问题，要么直接找规律，要么记忆化搜索或者递推.
至于sg函数，暂时也没时间看了.

十八. 浮点误差

①产生原因
浮点数的误差是怎么形成的

浮点数的误差的产生一般由于两个原因：
1）由于计算机内部以二进制保存，所以十进制的有限位的小数，在计算机内部会是一个无限位的小数。
例如 十进制的0.9虽然只有一位小数，转成2进制是无限循环小数0.1110011001100110011…

2）计算机保存浮点数的精度有限，例如float可以保留十进制最多7位（二进制23位）有效数字，double 可以保留十进制15~16位（二进制52位）有效数字。那有效数字以后的就被忽略了。
例如上面的0.9的表示受精度所限，精度以后的就被忽略了，这样
float时，它是0.89999998
double时，它是0.90000000000000002

②写法

#include <cmath>const double EPS=1e-5;inline int cmp(double i,double j){    if (fabs(i-j)<EPS) return 0;    return i<j?-1:1;}

③注意事项：
若题目要求答案保留n位小数，则EPS<1e(−n)，否则会出问题.

十九. 概率与期望

PC 1307 小象涂色
PC 1301 比赛

只需要简单的几个认知.
①期望的和=和的期望；
②期望的定义；
③概率的定义；
④概率的递推；

二十. 位运算

PC 1306

涉及位运算的最优性问题通常要从位思考，设计贪心算法。
使用Trie等数据结构。

二十一. 计数问题

PC 1305
PC 1302 数字

解决计数问题的出发点通常有两个：动态规划，组合数学.

计数问题常见的转化是全集-补集，更甚的是容斥原理.

二十二. 高精度

高精度压位后的输出要注意补齐前导零.

二十三. C++的一些问题

1. struct的本体成员函数使用：

struct E{    int u,v;    E (int u=0,v=0) {u=u,v=v;}}mp[N];int main(void){    mp[1]=E(1,2);    //建立1到2的边    //效果：mp[1].u=1,mp[1].v=2    return 0;}

1. 头文件

自己常用的头文件按照一个顺序写会比较好看，下面给出以后的参考：

#include <cstdio>   //必须的读入输出#include <cstring>#include <cstdlib>#include <cctype>   //读入优化常用#include <ctime>#include <cmath>#include <climits>//上面的基本的#include <algorithm>    #include <map>#include <set>using namespace std;//stl的

二十四. 二分

①手写二分
给一份没有问题的二分模板：

inilne int work(int w){    int l=左边界,r=右边界,mid;    for (;l<=r;)    {        mid=l+r>>1;        if (w满足mid的条件)            l=mid+1;        else r=mid-1;        /*        或if (...)            r=mid-1;        else l=mid+1;        */    }    return r;//判断合法，后修改的是答案}

②stl二分
前提：区间已经排好序

函数：
lower_bound(first,end,val)
upper_bound(first,end,val)
对应查找区间[first,end)

得到下标的方法：
loc=lower_bound(a+1,a+n+1,val)-a
loc=upper_bound(a+1,a+n+1,val)-a

返回的是什么下标：
当存在val时，val存在的区间是 [lower_bound() ，upper_bound())；
当不存在val时，upper_bound()=lower_bound()=比val大的第一个元素的位置.

二十五. 参数搜索

PC 1304 Incr
PC 1303 Graph

对于最优性问题，有参数搜索的方法.

在可能的范围中，我们可以按照坐标枚举答案，可以按照权值单调性枚举答案，可以按照某些特定顺序枚举答案，也可以二分枚举答案.

我们要做到的是，可能的范围尽可能小，枚举的方法尽可能快.

如果答案在给定的输入中，可能的范围就是O(n)个离散的点.

主要讲一下单调性枚举答案：
就是把可能出现的权值从大到小排序，然后依次枚举.
通常效率不会低，只要数据不坑可以AC，用途比二分枚举更广（二分枚举需要满足单调性）。
一些问题可以用这种方法解决：RMQ，PC 1304，etc.

二十六. 树剖

树剖总是容易忘记怎么写，这里写一些记忆树剖的方法。

下面列举的是树剖每部分对应需要的数组：
遍历：vis[N]；
找重儿子：size[N]，hv[N]；
找LCA或路径询问：dep[N]，pre[N]，top[N]；
节点编号维护：tid[N]，num（，pid[N]）；

写树剖的时候，就根据所需要处理的问题，先用笔列出两次（一次）遍历中需要求出的东西，然后再开始写。
涉及到路径问题的要写两次遍历：找重儿子、剖分。

二十七. 树上问题

常见的方法有树形dp，树链剖分，树上倍增，树上莫队，点分治，LCT（不会）.
可以考虑现将树上的问题放在一条线上考虑，然后再进行转化.

感言

重重烟雾遮掩山巅，陡峭山峰屹立眼前，这一重重的关卡！

登上此途，必会历经重重磨难，我踌躇不前。苍穹之上的那个存在，轻蔑地看着蝼蚁般渺小的我，嘲笑着我的无知和胆怯。

这条路，是只属于我的路，是只有我能完成的路，我又怎么能放弃呢？风险再大又何妨！强大与弱小，成功与失败，皆在一念之间。

不再踌躇，我拔出利剑。为了自己珍惜的人，我只能到达这一个终点，默念心底的誓言，放手一搏。

荆棘丛生又如何？刀山火海又如何？我一定会斩破重重云雾，登上山巅，与至高无上的主宰一决高下！

搞好OI，为了更好的未来，为了提高自己的学习能力，为了锻炼自己的思维逻辑。
学好学校的知识，为了给自己打好未来的基础，有更全面的发展。
绝对不能放弃OI，更不能荒废学业。

永不停止那追梦的脚步，为珍惜，为证明，为奠基，为贡献……

时贰零壹陆年贰月拾叁日。