【CodeForces 339B】Red and Blue Balls 找规律

题目

一个栈内初始有n个红色和蓝色的小球，请你按照以下规则进行操作：
1. 只要栈顶的小球是红色的，将其取出，直到栈顶的球是蓝色.
2. 然后将栈顶的蓝球变成红色.
3. 最后放入若干个蓝球直到栈中的球数为n.
以上3步骤为一次操作.
如栈中都是红色球，则操作停止，请问几次操作后停止.

样例1：RBR， 样例2：RBBR

分析

操作是确定的，没有决策，现在要求求次数.

首先的想法必然是直接模拟，然而会TLE.
考虑设数来求解.

设fi表示二进制状态为i所需的操作次数.
先研究fi的一些性质.

先考虑一个蓝球放在栈自顶向下的第k个位置，发现它变成红色需要f2k−1=2k−1次.

接着我们作出假设：蓝球是不会互相影响的，这样的话我们就可以把各个球累加.
即：∀a,b，f(a+b)=f(a)+f(b).
经数据验证这猜想应该是成立的.

所以问题在O(n)得以解决，注意使用lld.

小结

这种直接模拟的计数问题，通常有模拟和设元的方法.

但是模拟通常会超时，用于对拍，最好还是要设元.

设元的步骤如下：
① 设元f
② 从小数据或者特殊数据研究f的性质
③ 解出f的递推式或通式

常见的两个技巧：
①找进制数的规律，然后验证f(a)+f(b)=f(a+b).
②枚举小数据，求解递推式.

代码

#include <cstdio>typedef long long lint;int n;lint res;int main(void){    scanf("%d\n",&n);    for (int i=0;i<=n-1;i++)        if (getchar()=='B') res|=1ll<<i;    printf("%lld\n",res);    return 0;}