【求和】题解

题目

题目描述

若两个数的最大公约数为1，则这两个数互质。现在给出一个正整数N（1<=2^31-1)，你的任务是求出1~N中与N互质的数的总和。

输入

一个整数N

输出

一个整数sum，表示1~N中与N互质的数的总和。

样例输入

10

样例输出

20

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分析

解法一

套公式：ans=N*phi(N)/2

#include <cmath>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;long long zs[1000],m,ans,m2[20];long long s;int main(){    long long k,p,l,n,tot;    scanf("%lld",&n);    int i,j;    ans=(1+n)*n/2;    tot=0;    int nn=n;    for(i=2;i<=int(sqrt(n))+1;i++)    {        if(n%i==0)        {            zs[++tot]=i;            while(n%i==0)            {                n/=i;            }        }    }    //以上是求质因数    if(n>1)    {        zs[++tot]=n;    }    s=nn;    for(i=1;i<=tot;i++)    {        s=(zs[i]-1)*s/zs[i];    }    s=s*nn/2;    printf("%lld",s);}

解法二

假设S为1~N的总和，P为与N互质的数的总和（即答案），Q为不与N互质的数的总和，则P=S-Q；
显然S=(1+N)*N/2，我们就可以通过求出Q来的得出P。
首先求出N所有的质因数，再根据容斥原理就可以很轻松的求出Q。
再因为：

2*3*5*7*11*13*17*19*23=223092870<maxN2*3*5*7*11*13*17*19*23*29=6469693230>maxN

所以N质因数的个数不会超过9个，即容斥原理不会超时。