【SDOI2008】山贼集团

本题的模型是树形状态压缩的动态规划。
首先考虑简单的题目模型：对于任何形态的有根树 T，都可以建立其等效二叉树 T’，若在原树 T 中，结点 x 有儿子c1,c2,c3,…,ck，则在二叉树中，与之对应的结点 x’有儿子c1和h1，h1有儿子c2和h2，以此类推，hk−2有儿子ck−1和ck。并且所有 hi 都不能建立分部。其他的树的结点的权均有一一对应关系。容易知道在 T 中的最优规划等效于在 T’中的最优规划。

对于二叉树，设计状态 f[n][s]表示以第 n 个结点为根的子数中安排集合 s 的山贼集团分部的最优获利。状态 g[n][s]表示以第 n 个结点为子数不考虑根的安放情况下，安排集合s 的山贼集团分部的最优获利。
易知g[n][s]=maxf[cl][p]+f[cr][s−p]，其中 cl，cr 为 n 的两个子数，p 为s 的某个子集。
且f[n][s]=maxg[n][p]+cost[n][s−p]+value[s]， 其中 p 为 s 的子集，cost[n][s]表示在结点 n 修建集合 s 的分部所获得的收益， value[s]， 表示某个结点相对于集合 s 的收益。

关于上述算法， 最直接的实现是首先使用多叉树转二叉树， 然后直接套用上述递推公式进行计算。其次也可以不转二叉树，而在每个结点的转移处使用嵌套递推的方法。两种方法各有好处，在标程的实现中由于作者习惯采用了二次递推的方法。
在转移处需要枚举某个集合的所有子集， 如果使用直接枚举所有集合然后判断他是不是给定集合的子集，那么复杂度将会是O(n∗4p)，面临超时的危险，下面我们将看到，如果首先预处理出所有集合的子集是哪些的情况下，复杂度将会下降为 O(n∗3p)。