最短路算法详解(Dijkstra/SPFA/Floyd)
来源:互联网 发布:大华图像算法工程师 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 23:06
使用邻接矩阵的时间复杂度为O(n^2),用优先队列的复杂度为O((m+n)logn)近似为O(mlogn)
(一) 过程
每次选择一个未访问过的到已经访问过(标记为Known)的所有点的集合的最短边,并用这个点进行更新,过程如下:
Dv为最短路,而Pv为前面的顶点。
1. 初始
V
Known
Dv
Pv
V1
F
0
0
V2
F
∞
0
V3
F
∞
0
V4
F
∞
0
V5
F
∞
0
V6
F
∞
0
V7
F
∞
0
2. 在v1被标记为已知后的表
V
Known
Dv
Pv
V1
T
0
0
V2
F
2
V1
V3
F
∞
0
V4
F
1
V1
V5
F
∞
0
V6
F
∞
0
V7
F
∞
0
3. 下一步选取v4并且标记为known,顶点v3,v5,v6,v7是邻接的顶点,而他们实际上都需要调整。如表所示:
V
Known
Dv
Pv
V1
T
0
0
V2
F
2
V1
V3
F
3
V4
V4
T
1
V1
V5
F
3
V4
V6
F
9
V4
V7
F
5
V4
4. 接下来选取v2,v4是邻接点,但已经是known的,不需要调整,v5是邻接的点但不做调整,因为经过v2的值为2+10=12而长为3的路径已经是已知的。
V
Known
Dv
Pv
V1
T
0
0
V2
T
2
V1
V3
F
3
V4
V4
T
1
V1
V5
F
3
V4
V6
F
9
V4
V7
F
5
V4
5. 接下来选取v5,值为3,v7 3+6>5不需调整,然后选取v3,对v6的距离下调到3+5=8
V
Known
Dv
Pv
V1
T
0
0
V2
T
2
V1
V3
T
3
V4
V4
T
1
V1
V5
T
3
V4
V6
F
8
V3
V7
F
5
V4
6. 再选下一个顶点是v7,v6变为5+1=6
V
Known
Dv
Pv
V1
T
0
0
V2
T
2
V1
V3
T
3
V4
V4
T
1
V1
V5
T
3
V4
V6
F
6
V7
V7
T
5
V4
7. 最后选取v6
V
Known
Dv
Pv
V1
T
0
0
V2
T
2
V1
V3
T
3
V4
V4
T
1
V1
V5
T
3
V4
V6
T
6
V7
V7
T
5
V4
(二) 局限性
Dijkstra没办法解决负边权的最短路径,如图
运行完该算法后,从顶点1到顶点3的最短路径为1,3,其长度为1,而实际上最短路径为1,2,3,其长度为0.(因为过程中先选择v3,v3被标记为已知,今后不再更新)
(三) 算法实现。
1.普通的邻接表 以(HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra)为例
用vis作为上面标记的known,dis记录最短距离(记得初始化为一个很大的数)。
- void dijkstra(int s)
- {
- memset(vis,0,sizeof(vis));
- int cur=s;
- dis[cur]=0;
- vis[cur]=1;
- for(int i=0;i<n;i++)
- {
- for(int j=0;j<n;j++)
- if(!vis[j] && dis[cur] + map[cur][j] < dis[j]) //未被标记且比已知的短,可更新
- dis[j]=dis[cur] + map[cur][j] ;
- int mini=INF;
- for(int j=0;j<n;j++)
- if(!vis[j] && dis[j] < mini) //选择下一次到已知顶点最短的点。
- mini=dis[cur=j];
- vis[cur]=true;
- }
- }
2.邻接表+优先队列。
要重载个比较函数.
- struct point
- {
- int val,id;
- point(int id,int val):id(id),val(val){}
- bool operator <(const point &x)const{
- return val>x.val;
- }
- };
- void dijkstra(int s)
- {
- memset(vis,0,sizeof(vis));
- for(int i=0;i<n;i++)
- dis[i]=INF;
- priority_queue<point> q;
- q.push(point(s,0));
- dis[s]=0;
- while(!q.empty())
- {
- int cur=q.top().id;
- q.pop();
- if(vis[cur]) continue;
- vis[cur]=true;
- for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
- {
- int id=e[i].to;
- if(!vis[id] && dis[cur]+e[i].val < dis[id])
- {
- dis[id]=dis[cur]+e[i].val;
- q.push(point(id,dis[id]));
- }
- }
- }
- }
二、SPFA(bellman-ford)
(一)原理过程:
(二)实现:
- void SPFA(int s)
- {
- for(int i=0;i<n;i++)
- dis[i]=INF;
- bool vis[MAXN]={0};
- vis[s]=true;
- dis[s]=0;
- queue<int> q;
- q.push(s);
- while(!q.empty())
- {
- int cur=q.front();
- q.pop();
- vis[cur]=false;
- for(int i=0;i<n;i++)
- {
- if(dis[cur] + map[cur][i] < dis[i])
- {
- dis[i]=dis[cur] + map[cur][i];
- if(!vis[i])
- {
- q.push(i);
- vis[i]=true;
- }
- }
- }
- }
- }
- void spfa(int s)
- {
- memset(vis,0,sizeof(vis));
- for(int i=0;i<n;i++)
- dis[i]=INF;
- queue<int> q;
- q.push(s);
- vis[s]=true;
- dis[s]=0;
- while(!q.empty())
- {
- int cur=q.front();
- q.pop();
- vis[cur]=false;
- for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
- {
- int id=e[i].to;
- if(dis[id] > dis[cur]+e[i].val)
- {
- dis[id] = dis[cur] + e[i].val;
- if(!vis[id])
- {
- vis[id]=true;
- q.push(id);
- }
- }
- }
- }
- }
- bool spfa()
- {
- for(int i=0;i<=n;i++)
- dis[i]=INF;
- bool vis[MAXN]={0};
- int cnt[MAXN]={0};
- queue<int> q;
- dis[0]=0;
- vis[0]=true;
- cnt[0]=1;
- q.push(0);
- while(!q.empty())
- {
- int cur=q.front();
- q.pop();
- vis[cur]=false;
- for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next)
- {
- int id=e[i].to;
- if(dis[cur] + e[i].val > dis[id])
- {
- dis[id]=dis[cur]+e[i].val;
- if(!vis[id])
- {
- cnt[id]++;
- if(cnt[cur] > n)
- return false;
- vis[id]=true;
- q.push(id);
- }
- }
- }
- }
- return true;
- }
(三):优化
(四)应用:
三、floyd
(一)原理过程:
(二)实现:
- void floyd()
- {
- for(int k=0;k<n;k++)
- for(int i=0;i<n;i++)
- for(int j=0;j<n;j++)
- dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
- }
四、其他
如走迷宫经常用的BFS,以一个点出发,向外扩散。
如:
UVA 10047 - TheMonocycle BFS
HDU 1728逃离迷宫 BFS
POJ3984迷宫问题 BFS
UVA 11624 - Fire!图BFS
除了上面的
HDU 1874畅通工程续 SPFA || dijkstra||floyd
还有:
UVA11280 - Flying to Fredericton SPFA变形
UVA11090 - Going in Cycle!! SPFA
UVA10917 Walk Through the Forest SPFA
POJ 3259Wormholes邻接表的SPFA判断负权回路
POJ 1932XYZZY (ZOJ 1935)SPFA+floyd
UVA11374 Airport Express SPFA||dijkstra
UVA11367 - Full Tank? dijkstra+DP
POJ 1511Invitation Cards (ZOJ 2008)使用优先队列的dijkstra
POJ 3268Silver Cow Party (Dijkstra~)
POJ 2387Til the Cows Come Home (Dijkstra)
UVA10603 - Fill BFS~
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