普林斯顿微积分读本：第 3 章　极限导论

来源：互联网发布：电脑怎么连接宽带网络编辑：程序博客网时间：2024/05/16 05:44

第 3 章　极限导论

如果没有极限的概念, 那么微积分将不复存在. 这就是说,我们要花大量的时间来研究它们. 恰当的定义一个极限是非常有技巧的,但在没有对细节深入讨论的情况下,你也可以得到一个对极限的直观的理解.它们对于解决微分和积分问题已经足够了. 因此,本章仅仅包含对极限的直观描述; 正式描述请参见附录A. 总的来说,以下就是我们会在本章讲解的内容：

对于极限是什么的一个直观概念;
左、右与双侧极限, 及在 ∞ 和 -∞ 处的极限;
何时极限不存在;
三明治定理(也称作“夹逼定理”).

3.1　极限：基本思想

让我们开始吧. 我们从某个函数f和x轴上的一点出发,该点我们称之为α.我们想要理解的是：当x真的非常接近于α, 但不等于α时, f(x)是什么样子？这是一个非常奇怪的问题,也许正因此人类很晚才发展出微积分来解决这个问题.

这里有一个例子显示了为什么我们想要提出这样的问题.令f的定义域为 $\mathbb{R}$ \ {2}(除2以外的所有实数), 并设f(x) = x -1. 可以正式地写作：

f(x)=x-1 当x≠2.

这看起来好像是一个古怪的函数. 毕竟,到底为什么我们要将2从定义域中去除掉呢？事实上,在下一章我们会看到f很自然地就是个有理函数(见4.1节中的第二个例子).同时, 让我们取上述定义的f, 并画其图3-1.

图　3-1

那么, f(2)是什么呢？或许你会说f(2) = 1, 但那只是投机, 因为2根本不在f的定义域中.你所能做的最好的就是说f(2)是无定义的. 另一方面,当x真的非常接近于2的时候, 我们可以找到一些f(x)的值, 并看看将会有什么发生. 例如, f(2.01)= 1.01, 及f(1.999)=0.999. 如果你想一下的话,你会发现当x真的非常接近于2的时候, f(x)的值会真的接近于1.

还有, 令x充分地接近于2, 你可以尽可能地接近1, 而不是真的达到1.例如, 如果你想要f(x)在1±0.0001内, 你可以取在1.999 9和2.000 1中的任意的x值(当然是除了x =2, 这是禁止的). 如果你想要f(x)在1±0.000 007内, 那么选取x的时候, 你最好更细心一点. 这一次,你需要取在1.999 993和2.000 007之间的任意值了(当然还是除了2).

不管怎么说, 在附录A中的A.1节会对这些思想有更详细的描述.在陷入那种情境下之前, 让我们切入正题并写出：

$\lim_{x\to2}f(x)=1.$

如果你大声将它读出来, 它听起来应该像是“当x趋于2,f(x)的极限等于1. ”再次, 这意味着,当x接近于2(但不等于2)时, f(x)的值接近于1.到底有多近呢？你想要多近就能多近.以上陈述的另外一个写法是

f(x) → 1 当 x→ 2.

用这个进行计算会更难些,但其意义很清晰：当x沿着数轴从左侧或者从右侧走向2时, f(x)的值会非常接近于1(并且保持接近！).

　现在, 我们取上述函数f并对它作一点改动. 事实上,假设有一个新的函数g, 如图3-2图像.

图　3-2

函数g的定义域是所有实数, 并且, g(x)可以被定义为如下的分段函数形式：

$\lim_{x\to2}g(x)$ 是什么呢？这里的关键是g(2)的值和该极限是不相关的！只有那些在x接近于2时的g(x)的值, 而不是在2处的值,才是问题的关键.如果我们忽略x=2, 函数g和我们之前看到的函数f就是完全相同的.因此, 正如以前那样, 尽管g(2)=3,我们还是会有 $$\displaystyle\lim_{x\to2}g(x)=1$ .

重要的是, 当你写出如下形式的时候,

$\lim_{x\to2}f(x)=1,$

等式左边事实上不是x的函数！记住,以上等式是说当x接近于2时, f(x)接近于1. 事实上,我们可以将x替换成任意其他的字母, 上式仍然成立. 例如,当q接近于2时, f(q)接近于1, 因此我们有：

$\lim_{q\to2}f(q)=1.$

我们也可以写成：

$\lim_{b\to2}f(b)=1 \lim_{z\to2}f(z)=1, \lim_{\alpha\to2}f(\alpha)=1,$

并且可以继续写下去, 直到我们用光了所有的字母和字符!问题的关键在于, 在极限

$\lim_{x\to2}f(x)=1,$

中, 变量x只是一个虚拟变量.它是一个暂时的标记, 来表示某个(在上述情况下)非常接近于2的量.它可以被替换成其他任意字母,只要你在任何它出现的其他地方做调换就可以了; 同样,当你求出极限值的时候, 结果不可能包含这个虚拟变量. 所以,面对虚拟变量时你要灵活应变.

3.2　左极限与右极限

　我们看到,极限描述了函数在一个定点附近的行为. 想想看, 如何来描述h(x) 在x = 3附近的行为, 如图3-3所示.

图　3-3

当然, 就极限行为而言, 事实上h(3) =2是无关紧要的. 现在, 当你从左侧接近于x =3时会发生什么呢？想象一下, 你是一张图片中的远足者, 爬山下山.h(x)的值会告诉你, 当你的水平位置是x时,你的高度是多少. 因此, 如果你从图片的左边向右走, 那么,当你的水平位置接近于3时,你的高度就会接近于1.

当然, 当你到达x=3时就会陡然坠落（先不管上方的那个古怪的小突起）,但此时我们对此并不关心. 任何在x = 3右侧的值, 包含x =3本身对应的值, 都是无关紧要的. 因此,我们就看到了h(x)在x=3的左极限就等于1.

另一方面, 如果你从图片的右边向左走, 那么, 当你的水平位置接近于x =3时, 你的高度就会接近于-2. 这就是说, h(x)在x =3的右极限就等于-2. 任何在x =3左侧的(包含x = 3本身)值都是无关紧要的.

我们可以将上述发现总结如下：

$\lim_{x\to3^-}h(x)=1$ 及 $\lim_{x\to3^+}h(x)=-2.$

在上面第一个极限中3后的小减号表示该极限是一个左极限,在上面第二个极限中3后的小加号表示该极限是一个右极限.要在3的后面写上减号或加号, 而不是在前面, 这是非常重要的！例如,如果你写成：

$\lim_{x\to-3}h(x),$

　那么,你指的就是h(x)在x=-3时的通常的双侧极限,而不是h(x)在x = 3时的左极限.这确实是两个完全不同的概念. 顺便说的是, 在左极限的极限符号底下写x → 3- 的理由是此极限只涉及小于3的x的值. 也就是说,你需要在3上减一点点来看会有什么情况发生. 类似地, 对于右极限,当你写x → 3+的时候,这意味着你只需要考虑如果在3上加一点点会有什么情况发生.

正如我们将在下一节看到的一样, 极限不是总存在的.但重要的是：通常的双侧极限在x = a处存在, 仅当左极限和右极限在x= a处都存在并且相等！在这种情况下, 这三个极限(双侧极限,左极限和右极限)都是一样的. 用数学的语言描述, 我们有

$\lim_{x\to a^-}f(x)=L$ 及 $\lim_{x\to a^+}f(x)=L$

和

$\lim_{x\to a}f(x)=L.$

是同一个极限. 如果左极限和右极限不相等,正如上述例子中的函数h, 那么, 双侧极限不存在. 我们最好是写

$\lim_{x\to3}h(x)$ 不存在

或甚至可以用“DNE”来代替“不存在”.

3.3　何时不存在极限}

　我们刚刚看到,当相应的左极限和右极限不相等时双侧极限不存在. 这里有一个更戏剧性的例子. 我们考虑f(x) = 1/x 的图像： $\lim_{x\to0}f(x)$ 是什么呢？期望双侧极限在那里存在有点不大可能.因此, 我们先来试着求一下右极限, $\lim_{x\to0^+}f(x)$ . 看一下图3-4, 当x是正的并且接近于0时,f(x)看起来好像非常大. 特别是,当x从右侧滑到0时,它看起来并不接近于任何数; 它就是变得越来越大了.但会有多大呢？它会比你能想象到的任何数都大！我们说该极限是无穷大,并写作：

$\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=\infty.$

图　3-4

类似地, 这里的左极限是 -∞ , 由于当x上升至0时, f(x)会任意地变得越来越负. 这就是说：

$\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty.$

　由于左极限和右极限不相等, 故双侧极限当然不存在. 另一方面,我们考虑函数g, 其定义为g(x) = 1 /x2.其图像如图3-5所示.

图　3-5

此函数在x = 0处的左极限和右极限都是∞,因此你也可以说 $\lim_{x \to 0} 1 / x^2 = \infty$ . 顺便说的是,现在我们有一个关于“垂直渐近线”正式定义：

“f在x=a处有一条垂直渐近线”说的是, $\lim_{x\to a^+}f(x)$ 和 $\lim_{x\to a^-}f(x)$ , 其中至少有一个极限是∞或-∞.

现在, 可能会出现左极限或右极限不存在的情况吗？答案是肯定的！例如,让我们来认识一个让人心跳的函数g, 其定义为g(x) = sin(1/x}).此函数的图像看起来会是什么样的呢？首先, 让我们来看一下x的正值.由于 sin(x)在x=π,2π,3π,…上的值全为0,那么, sin(1/x)在1/x=π,2π,3π,…上的值全为0. 我们取其倒数, 会发现sin(1/x)在 $x=\dfrac{1}{\pi},\dfrac{1}{2\pi},\dfrac{1}{3\pi},\cdots$ 上的值全为0.这些数就是sin(1/x)的x轴截距.在数轴上, 它们看起来如图3-6所示.

图　3-6

正如你看到的, 当接近于0的时候, 它们确实都挤在一起了.现在, 在每一个x轴截距间, sin(x)向上走到1或向下走到 -1, 因此, sin(1/x)也一样. 我们把目前已知的画出来, 得到图3-7：

图　3-7

那么, $\lim_{x\to 0^+}\sin(1/x)$ 是什么呢？以上图像在x=0附近很杂乱.它无限地在1和-1之间振荡, 当你从右侧向x = 0处移动时,振荡会越来越快. 这里没有垂直渐近线, 但是,那里也没有极限1. 当x从右侧趋于x=0时,该函数不趋于任何数. 因此, 我们说, $\lim_{x \to 0^+ } \sin ( {1 / x} )$ 不存在(DNE). 我们在下一节会将y = sin(1/x)的图像补充完整.

1正式的证明请参见附录A的A.3.4节.

3.4　在∞和-∞处的极限

还有一类我们需要研究的极限. 我们已经研究了在接近一点x = a时的函数行为. 然而, 有些情况下, 重要的是要理解当x变得非常大时,一个函数的行为如何. 换句话说, 我们感兴趣的是,研究当变量x趋于∞时函数的行为. 我们想写出如下形式：

$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$

并且想表达, 当x很大的时候, f(x)变得非常接近于值L, 并且保持这种接近的程度.(更多详情请参阅附录A的A.3.3节. )重要的是要意识到, 写“ $\lim_{x \to \infty } f( x ) =L$ ”表示f的图像在y = L处有一条右侧水平渐近线. 类似地,当x趋于-∞时, 我们写出如下形式：

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=L,$

它表示当x变得越来越负(或者更确切地说, -x变得越来越大时)的时候, f(x)会变得非常接近于值L,并且是持续接近于值L. 这当然和函数y = f(x)的图像有一条左侧水平渐近线是相对应的. 如果你愿意,也可以把这些转化为定义, 并说成如下形式：

“f在y =L处有一条右侧水平渐近线” 表示 $\lim_{x \to\infty } f( x ) = L$ .
“f在y =M处有一条左侧水平渐近线” 表示 $\lim_{x \to -\infty } f( x ) = M$ .

当然, 像y=x2这样的函数没有任何水平渐近线,因为当x变得越来越大时, y值只会无限上升. 用符号表示,我们可以写作 $\lim_{x \to - \infty } x^2 = \infty$ . 还有一种极限不存在的情形. 例如, $\lim_{x \to - \infty} \sin ( x )$ 是什么呢？就是说, sin(x)会变得越来越接近何值呢(并且保持这种接近状态)？它只是在-1和1之间来回振荡,因此, 它绝不会真正地接近任何地方. 此函数没有水平渐近线,也不会趋于 ∞ 或 -∞; 你所能做的最好的是说 $\lim_{x \to - \infty } \sin ( x)$ 不存在(DNE). 证明请见附录A的A.3.4节.

　让我们返回上一节看到的函数f,其定义为f(x) = sin (1 / x).当x变得非常大时会怎么样呢？好吧, 当x很大时, 1 /x会非常接近于0. 由于sin ( 0 ) = 0, 那么sin(1 / x)就会非常接近于0. x越大, sin(1 /x)就会越来越接近于0. 我的观点有点粗略,但是希望你能相信2

2如果你不信,就请参见附录A的A.4.1节!

$\lim_{x\to\infty}\sin(1/x)=0.$

因此, sin(1/x)在y=0处有一条水平渐近线.这使我们能够扩展我们之前画的y = sin(1/x)的图像, 至少是向右边做扩展. 我们还应该关心一下当x < 0时会发生什么情况. 这不是太糟糕, 因为f是一个奇函数.理由如下：

$f(-x)=\sin(\frac{1}{-x})=\sin(-\frac{1}{x})=-\sin(\frac{1}{x})=-f(x).$

注意到, 我们使用的事实是, sin(x)是x的奇函数, 由sin(-1/x)得到 -sin(1/x). 这样一来,由于奇函数有一个很好的性质, 就是关于原点对称(见1.4节),我们可以完整地画出y = sin(1/x)的图像,如图3-8所示：

图　3-8

同样, 我们很难画出当x在0附近时的情况. x越接近0,此函数就会振荡得越激烈, 当然, 该函数在x = 0处无意义. 在上图中,我选择避免在中间画出黑色的斑点,就是想让你想象一下那里的振荡会是什么样子的.

大的数和小的数

希望我们都认同1 000 000 000 000 是一个大数. 那么, -1 000 000 000 000 呢？或许这会引起争议,我想让你把它看作是一个大的负数, 而不是一个小数. 举个小数的例子,0.000 000 001, 然而, -0.000 000 001也是一个小数(更确切地说,是一个小的负数). 有趣的是, 我们不打算把0看作是个小数：它就是零.因此, 下面就是我们对于大数和小数的非正式的定义：

如果一个数的绝对值是非常大的数, 则这个数是大的.
如果一个数非常接近于0(但不是真的等于 0), 则这个数是小的.

　尽管上述定义将有助于我们在实践中的应用,但这实在是一个没有说服力的定义.“非常大”和“非常接近于0”这些都意味着什么呢？好吧,我们考虑下列极限方程：

$\lim_{x\to\infty}f(x)=L.$

正如我们以上看到的, 它表示当x是一个足够大的数,f(x)的值就会几乎等于L. 可问题是,多大才是“足够大”呢？这取决于你想让f(x)距离L有多近！不过, 从实际应用的观点出发, 如果y =f(x)的图像看上去开始变得靠近在y = L的水平渐近线,那么这个数x足够大. 当然, 任何事情都依赖于函数f的定义,正如你在图3-9中看到的一样：

图　3-9

这两种情况, f(10)都不在L的附近. 在左图中,当x至少是100时, f(x)看上去非常接近于L, 因此,任何比100大的数都是大数. 在右图中, f(100)远离L, 因此, 现在的100就不是足够大了. 这种情形下,你可能需要走到200. 那么,你能够只选取一个像1 000 000 000 000这样的数,并且说它已经很大了吗？不可以, 因为一个函数,在它变得趋于它的水平渐近线之前, 可能会徘徊,直到5 000 000 000 000. 问题是,“大的”这个词必须参与到某个函数或极限中. 幸好,有很大的空间向上移动——甚至一个像1 000 000 000 000这样的数,相对于10100(古戈尔)来说还是相当的小,而10100与101 000 000比起来又是那么的微不足道…….顺便要说的是, 我们会经常使用术语“在∞附近”来代替“大的正的”. (在字面意义上说,一个数不可能真的在∞附近, 因为∞无穷远. 尽管如此,我们用 x → ∞ 的极限来表示.)

当然, 除了你在所有的大的正的数前面添加一个负号之外,所有的这些都适用于 x → ∞ 的极限. 在这种情况下,我们有时会说“在 -∞ 附近”来强调我们所指的是大的负的数.

另一方面, 我们会经常看到下列形式的极限方程：

$\lim_{x\to0}f(x)=L, \lim_{x\to 0^+}f(x)=L$ 或 $\lim_{x\to0^-}f(x)=L.$

在上述三种情况下, 我们知道, 当x足够接近于0时,f(x)的值几乎是L. (对于右极限, x也必须为正,而对于左极限, x也必须为负. )此外,x必须离0多近呢？这取决于函数f. 因此,当我们说一个数是“小的”(或者“接近于0”)的时候,我们必须依据某个函数或极限来看待它, 正如对于“大的”情况一样.

尽管这方面的讨论真的是强化了上述站不住脚的定义, 它仍然不完美.如果你想学更多的相关知识, 你真的应该查看一下附录A的A.1节和A.3.3节.

3.5　关于渐近线的两个常见错误认知

现在看来, 到了纠正一些关于水平渐近线的常见错误认知的好时机了.首先, 一个函数不需要在左右两边有相同的水平渐近线. 在3.3节f(x) = 1/x的图像中, 左右两侧都有y=0这条水平渐近线. 这就是说

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$ 和 $\lim_{x\to\infty}-\frac{1}{x}=0.$

然而, 我们考虑图3-10中y = tan-1(x)的图像(或者你更喜欢反三角函数y = arctan(x), 你可以使用这两种写法中的任意一种)：

图　3-10

此函数在y=π/2处有一条右侧水平渐近线,在y=-π/2处有一条左侧水平渐近线, 它们是不同的.我们也可以用极限来表示：

$\lim_{x\to\infty}\tan^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}$ 及 $\lim_{x\to-\infty}\tan^{-1}(x)=-\frac{\pi}{2}$

因此, 一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线,但最多只能有两条水平渐近线(一条在右侧, 另一条在左侧).或许它一条都没有, 也或者只有一条. 例如, y =2x有一条左侧水平渐近线, 但是没有右侧水平渐近线(见1.6节的图像).这和垂直渐近线相反：一个函数可以有很多条垂直渐近线(例如,y = tan(x)有无穷多条垂直渐近线).

另外一个常见的错误认知是说一个函数不可能和它的渐近线相交.或许你已经看到了, 渐近线是一条让函数越来越接近,但是永远不会相交的直线. 这不正确,至少当你谈及水平渐近线的时候它是不正确的. 例如,我们考虑定义为f(x) = sin(x)/x的函数f, 这里, 我们只关心当x是很大的正数时的函数行为. sin(x)的值在 -1 和1之间振荡, 因此, sin(x)/x的值在曲线y = -1/x和y = 1/x之间振荡. 此外,sin(x)/x和 sin(x)有相同的零点,即 π ,2π ,3π,…. 综合所有的信息, 其图像如图3-11所示.

图　3-11

在图像中用虚线表示的曲线y=1/x和y=-1/x形成了正弦波的包络.在任何情况下, 正如你从图像中看到的,如果世界上还有一点真理存在的话, 那么下列形式将是正确的

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0.$

这意味着, 尽管y = f(x)的图像和坐标轴一次又一次地相交,我们有x轴是f的水平渐近线. 现在, 为了证明上述极限,我们需要应用所谓的三明治定理. 证明就在下一节的结尾部分.

3.6　三明治定理

　三明治定理又称作夹逼定理,说的是, 如果一个函数f被夹在函数g和h之间, 当x → a时,这两个函数g和h都收敛于同一个极限L, 那么, 当x → a时, f也收敛于极限L.

这里是对该定理的一个更精确的描述. 假设, 对于所有的在a附近的x,我们都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). 即f(x)被夹在(或被挤在)g(x)和h(x)之间. 此外, 我们假设 $\lim_{x \to a} g( x ) = L$ 并且 $\lim_{x \to a} h( x ) = L$ . 那么,我们可以得出结论： $\lim _{x \to a} f( x) = L$ ; 即当x → a时, 所有三个函数都有相同的极限.像往常一样, 图3-12会告诉我们一切.

图　3-12

在图像中用实心曲线表示的函数f的确被夹在其他两个函数g和h之间;当x → a时, f(x)的极限被迫趋于L.(三明治定理的证明见附录A的A.2.4节. )

　对于单侧极限, 除了不等式g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)仅在我们关心的a的一侧成立之外,我们有一个类似三明治定理的描述. 例如, 下式是什么呢?

$\lim_{x\to0^+}x\sin(\frac{1}{x})?$

y=x sin(1/x)的图像和y=sin(1/x)的图像很相似,只是现在, 前面有一个x致使函数陷于包络y=x和y=-x之间.图3-13是x在0和0.3之间时的函数图像.

图　3-13

从上图中我们仍然看到, 当x趋于0时, 函数有强烈的振荡,但是现在它们被包络线抑制着. 特别是,求我们想要的极限就是三明治定理的一个完美应用.函数g是下方的包络线y = -x, 而函数h是上方的包络线y = x.我们需要证明对于x > 0, 有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). 由于我们只需要f(x)在x = 0处的右极限, 所以我们不关心x < 0时的情况.(事实上, 如果你将直线扩展到 -x, 你可以看到, 对于x < , g(x)实际大于h(x), 因此,三明治定理不适用！)所以, 当x>0时, 要怎样证明g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)呢?我们将会用到任意数的正弦(在我们的例子中是1/x)都包括在-1和1之间这样的事实：

$-1\le\sin(\frac{1}{x})\le1.$

现在我们用x乘以这个不等式, 太棒了, 因为x > 0,我们得到：

$-x\le x\sin(\dfrac{1}{x})\le x.$

而这正是我们需要的g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). 最后, 注意到

$\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to0^+}(-x)=0$ 及 $\lim_{x\to0^+}h(x)=\lim_{x\to0^+}x=0.$

因此, 由于当x → 0+ 时, 三明治函数g(x)和h(x)的值收敛于同一个数——0, f(x)也一样. 这就是说, 我们证明了

$\lim_{x\to0^+}x\sin(\frac{1}{x})=0.$

请记住, 如果前面没有因子x, 上式一定不成立;正如我们在3.3节看到的, 当x → 0+ 时, sin(1/x)的极限不存在.

　我们还没有解决上一节结尾部分的极限的证明问题！别忘了我们想证明的是

$\lim_{x\to \infty}\frac{\sin(x)}{x}=0.$

为了证明此公式, 我们必须使用一个略有不同的三明治定理,涉及在∞处的极限. 在这种情况下,我们需要对于所有的很大的x, 都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)成立; 那么, 如果我们知道 $\lim_{x \to \infty } g( x ) = L$ 并且 $\lim_{x \to \infty } h( x ) = L$ ,我们也可以说, $\lim_{x \to \infty } f( x) = L$ . 这几乎是和三明治定理对于有限处的极限是一致的.为了建立上述极限, 我们还要用到, 对于所有的x, 都有 -1 ≤ sin(x) ≤ 1, 但这次, 对于所有的x > 0,我们要用该不等式除以x得到