浅析求素数算法

注意: 如果没有特殊说明, 以下讨论的都是针对n为素数时的时间复杂度

1. 根据概念判断:

如果一个正整数只有两个因子, 1和p，则称p为素数.

代码:

bool isPrime(int n){    if(n < 2) return false;    for(int i = 2; i < n; ++i)        if(n%i == 0) return false;    return true;}

时间复杂度O(n).


2. 改进, 去掉偶数的判断

代码:

bool isPrime(int n){    if(n < 2) return false;    if(n == 2) return true;    for(int i = 3; i < n; i += 2)        if(n%i == 0) return false;    return true;}

时间复杂度O(n/2), 速度提高一倍.


3. 进一步减少判断的范围

定理: 如果n不是素数, 则n有满足1<d<=sqrt(n)的一个因子d.
证明: 如果n不是素数, 则由定义n有一个因子d满足1<d<n.
如果d大于sqrt(n), 则n/d是满足1<n/d<=sqrt(n)的一个因子.

代码:

bool isPrime(int n){    if(n < 2) return false;    if(n == 2) return true;    for(int i = 3; i*i <= n; i += 2)        if(n%i == 0) return false;    return true;}

时间复杂度O(sqrt(n)/2), 速度提高O((n-sqrt(n))/2).