浅析求素数算法

转自http://blog.csdn.net/dapengbusi/article/details/36683305

  注意: 如果没有特殊说明, 以下讨论的都是针对n为素数时的时间复杂度

1. 根据概念判断:

  如果一个正整数只有两个因子, 1和p，则称p为素数.
代码:

bool isPrime(int n){    if(n < 2) return false;    for(int i = 2; i < n; ++i)        if(n%i == 0) return false;    return true;}//时间复杂度O(n).

2.改进, 去掉偶数的判断

代码:

bool isPrime(int n){    if(n < 2) return false;    if(n == 2) return true;    for(int i = 3; i < n; i += 2)        if(n%i == 0) return false;    return true;}//时间复杂度O(n/2), 速度提高一倍.

3. 进一步减少判断的范围

  定理: 如果n不是素数, 则n有满足1

bool isPrime(int n){    if(n < 2) return false;    if(n == 2) return true;    for(int i = 3; i*i <= n; i += 2)        if(n%i == 0) return false;    return true;}//时间复杂度O(sqrt(n)/2), 速度提高O((n-sqrt(n))/2).

4. 剔除因子中的重复判断.

  例如: 11%3 != 0 可以确定 11%(3*i) != 0.
定理: 如果n不是素数, 则n有满足1<d<=sqrt(n)的一个”素数”因子d.
证明:
I1. 如果n不是素数, 则n有满足1<d<=sqrt(n)的一个因子d.
I2. 如果d是素数, 则定理得证, 算法终止.
I3. 令n=d, 并转到步骤I1.
由于不可能无限分解n的因子, 因此上述证明的算法最终会停止.
代码:

// primes[i]是递增的素数序列: 2, 3, 5, 7, ...// 更准确地说primes[i]序列包含1->sqrt(n)范围内的所有素数bool isPrime(int primes[], int n){    if(n < 2) return false;    for(int i = 0; primes[i]*primes[i] <= n; ++i)        if(n%primes[i] == 0) return false;    return true;}//假设n范围内的素数个数为PI(n), 则时间复杂度O(PI(sqrt(n))).

  函数PI(x)满足素数定理: ln(x)-3/2 < x/PI(x) < ln(x)-1/2, 当x >= 67时.
因此O(PI(sqrt(n)))可以表示为O(sqrt(x)/(ln(sqrt(x))-3/2)),O(sqrt(x)/(ln(sqrt(x))-3/2))也是这个算法的空间复杂度.

5. 构造素数序列primes[i]: 2, 3, 5, 7, …

  由4的算法我们知道, 在素数序列已经被构造的情况下, 判断n是否为素数效率很高;但是, 在构造素数序列本身的时候, 是否也可是达到最好的效率呢?事实上这是可以的! – 我们在构造的时候完全可以利用已经被构造的素数序列!
  假设我们已经我素数序列: p1, p2, .. pn,现在要判断pn+1是否是素数, 则需要(1, sqrt(pn+1)]范围内的所有素数序列,而这个素数序列显然已经作为p1, p2, .. pn的一个子集被包含了!
代码:

// 构造素数序列primes[]void makePrimes(int primes[], int num){    int i, j, cnt;    primes[0] = 2;    primes[1] = 3;    for(i = 5, cnt = 2; cnt < num; i += 2)    {        int flag = true;        for(j = 1; primes[j]*primes[j] <= i; ++j)        {            if(i%primes[j] == 0)            {                flag = false; break;            }        }        if(flag) primes[cnt++] = i;    }}//makePrimes的时间复杂度比较复杂, 而且它只有在初始化的时候才被调用一次.

  在一定的应用范围内, 我们可以把近似认为makePrimes需要常数时间.
  在后面的讨论中, 我们将探讨一种对计算机而言更好的makePrimes方法.

6. 更好地利用计算机资源…

  当前的主流PC中, 一个整数的大小为2^32. 如果需要判断2^32大小的数是否为素数,则可能需要测试[2, 2^16]范围内的所有素数(2^16 == sqrt(2^32)).由4中提到的素数定理我们可以大概确定[2, 2^16]范围内的素数个数.由于2^16/(ln(2^16)-1/2) = 6138, 2^16/(ln(2^16)-3/2) = 6834,我们可以大概估计出[2, 2^16]范围内的素数个数6138 < PI(2^16) < 6834.在对[2, 2^16]范围内的素数进行统计, 发现只有6542个素数:
p_6542: 65521, 65521^2 = 4293001441 < 2^32, (2^32 = 4294967296)
p_6543: 65537, 65537^2 = 4295098369 > 2^32, (2^32 = 4294967296)
  在实际运算时unsigned long x = 4295098369;将发生溢出, 为131073.
  在程序中, 我是采用double类型计算得到的结果.
分析到这里我们可以看到, 我们只需要缓冲6543个素数, 我们就可以采用4中的算法,高效率地判断[2, 2^32]如此庞大范围内的素数!(原本的2^32大小的问题规模现在已经被减小到6543规模了!)虽然用现在的计算机处理[2, 2^16]范围内的6542个素数已经没有一点问题,虽然makePrimes只要被运行一次就可以, 但是我们还是考虑一下是否被改进的可能?!
  我想学过java的人肯定想把makePrimes作为一个静态的初始化实现, 在C++中也可以
模拟java中静态的初始化的类似实现:

#define NELEMS(x) ((sizeof(x)) / (sizeof((x)[0])))static int primes[6542+1];static struct _Init { _Init(){makePrimes(primes, NELEMS(primes);} } _init;

  如此, 就可以在程序启动的时候自动掉用makePrimes初始化素数序列.但, 我现在的想法是: 为什么我们不能在编译的时候调用makePrimes函数呢?完全可以!!! 代码如下:
代码:

// 这段代码可以由程序直接生成const static int primes[] ={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,...65521, 65537};有点不可思议吧, 原本makePrimes需要花费的时间复杂度现在真的变成O(1)了!

(我觉得叫O(0)可能更合适!)

7. 二分法查找

  现在我们缓存了前大约sqrt(2^32)/(ln(sqrt(2^32)-3/2))个素数列表, 在判断2^32级别的素数时最多也只需要PI(sqrt(2^32))次判断(准确值是6543次), 但是否还有其他的方式判断呢?
  当素数比较小的时候(不大于2^16), 是否可以直接从缓存的素数列表中直接查询得到呢?
  答案是肯定的! 由于primes是一个有序的数列, 因此我们当素数小于2^16时, 我们可以直接采用二分法从primes中查询得到(如果查询失败则不是素数).
代码:

// 缺少的代码请参考前边#include <stdlib.h>static bool cmp(const int *p, const int *q){    return (*p) - (*q);}bool isPrime(int n){    if(n < 2) return false;    if(n == 2) return true;    if(n%2 == 0) return false;    if(n >= 67 && n <= primes[NELEMS(primes)-1])    {        return NULL !=            bsearch(&n, primes, NELEMS(primes), sizeof(n), cmp);    }    else    {        for(int i = 1; primes[i]*primes[i] <= n; ++i)            if(n%primes[i] == 0) return false;        return true;    }}

时间复杂度:
if(n <= primes[NELEMS(primes)-1] && n >= 67): O(log2(NELEMS(primes))) < 13;
if(n > primes[NELEMS(primes)-1]): O(PI(sqrt(n))) <= NELEMS(primes).

8. 素数定理+2分法查找

  在7中, 我们对小等于primes[NELEMS(primes)-1]的数采用2分法查找进行判断.我们之前针对2^32缓冲的6453个素数需要判断的次数为13次(log2(1024*8) == 13).对于小的素数而言(其实就是2^16范围只内的数), 13次的比较已经完全可以接受了.不过根据素数定理: ln(x)-3/2 < x/PI(x) < ln(x)-1/2, 当x >= 67时, 我们依然可以进一步缩小小于2^32情况的查找范围(现在是0到NELEMS(primes)-1范围查找).我们需要解决问题是(n <= primes[NELEMS(primes)-1):如果n为素数, 那么它在素数序列可能出现的范围在哪?—- (n/(ln(n)-1/2), n/(ln(n)-3/2)), 即素数定理!
上面的代码修改如下:
代码:

bool isPrime(int n){    if(n < 2) return false;    if(n == 2) return true;    if(n%2 == 0) return false;    int hi = (int)ceil(n/(ln(n)-3/2));    if(n >= 67 && hi < NELEMS(primes))    {        int lo = (int)floor(n/(ln(n)-1/2));        return NULL !=            bsearch(&n, primes+lo, hi-lo, sizeof(n), cmp);    }    else    {        for(int i = 1; primes[i]*primes[i] <= n; ++i)            if(n%primes[i] == 0) return false;        return true;    }}

时间复杂度:
if(n <= primes[NELEMS(primes)-1] && n >= 67): O(log2(hi-lo))) < ???;
if(n > primes[NELEMS(primes)-1]): O(PI(sqrt(n))) <= NELEMS(primes).

9. 打包成素数库(给出全部的代码)

  到目前为止, 我已经给出了我所知道所有改进的方法(如果有人有更好的算法感谢告诉我).这里需要强调的一点是, 这里讨论的素数求法是针对0-2^32范围的数而言, 至于像寻找成百上千位大小的数不在此讨论范围, 那应该算是纯数学的内容了.
代码保存在2个文件: prime.h, prime.cpp.
代码:

// file: prime.h#ifndef PRIME_H_2006_10_27_#define PRIME_H_2006_10_27_extern int  Prime_max(void);        // 素数序列的大小extern int  Prime_get (int i);        // 返回第i个素数, 0 <= i < Prime_maxextern bool Prime_test(int n);        // 测试是否是素数, 1 <= n < INT_MAX#endif///////////////////////////////////////////////////////// file: prime.cpp#include <assert.h>#include <limits.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#include "prime.h"// 计算数组的元素个数#define NELEMS(x) ((sizeof(x)) / (sizeof((x)[0])))// 素数序列, 至少保存前6543个素数!static const int primes[] ={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,...65521, 65537};// bsearch的比较函数static int cmp(const void *p, const void *q){    return (*(int*)p) - (*(int*)q);}// 缓冲的素数个数int Prime_max(){    return NELEMS(primes);}// 返回第i个素数int Prime_get(int i){    assert(i >= 0 && i < NELEMS(primes));    return primes[i];}// 测试n是否是素数bool Prime_test(int n){    assert(n > 0);    if(n < 2) return false;    if(n == 2) return true;    if(!(n&1)) return false;    // 如果n为素数, 则在序列hi位置之前    int lo, hi = (int)ceil(n/(log(n)-3/2.0));    if(hi < NELEMS(primes))    {        // 确定2分法查找的范围        // 只有n >= 67是才满足素数定理        if(n >= 67) lo = (int)floor(n/(log(n)-1/2.0));        else { lo = 0; hi = 19; }        // 查找成功则为素数        return NULL !=            bsearch(&n, primes+lo, hi-lo, sizeof(n), cmp);    }    else    {        // 不在保存的素数序列范围之内的情况        for(int i = 1; primes[i]*primes[i] <= n; ++i)            if(n%primes[i] == 0) return false;        return true;    }}

10. 回顾, 以及推广

  到这里, 关于素数的讨论基本告一段落. 回顾我们之前的求解过程, 我们会发现如果缺少数学的基本知识会很难设计好的算法; 但是如果一味地只考虑数学原理,而忽律了计算机的本质特征, 也会有同样的问题.一个很常见的例子就是求Fibonacci数列. 当然方法很多, 但是在目前的计算机中都没有实现的必要!
因为Fibonacci数列本身是指数增长的, 32位的有符号整数所能表示的位置只有前46个:
代码:

static const int Fibonacci[] ={    0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,    2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,    317811,514229,832040,1346269,2178309,3524578,5702887,9227465,    14930352,24157817,39088169,63245986,102334155,165580141,267914296,    433494437,701408733,1134903170,1836311903,-1323752223};

  因此, 我只需要把前46个Fibonacci数保存到数组中就可以搞定了!
  比如: F(int i) = {return Fibonacci[i];} 非常简单, 效率也非常好.
  同样的例子如求阶乘n!, 虽然也有很多数学上的描述, 但是计算机一般都表示不了,我们直接把能用的计算好放到内存中就可以了.(这里在看数据结构与算法导论STL里记录了大数阶乘的问题解法，并定义了相应的数据结构！)
总之, 许多东西本身是好的, 但是不要被它束缚了!