算法时间复杂度的计算

时间复杂度的定义

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。

根据定义，可以归纳出基本的计算步骤

1. 计算出基本操作的执行次数T(n)

基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

2. 计算出T(n)的数量级

求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：忽略常量、低次幂和最高次幂的系数令f(n)=T(n)的数量级。

3. 用大O来表示时间复杂度

当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

一个示例：

int num1, num2;for(int i=0; i<n; i++){  num1 += 1;    for(int j=1; j<=n; j*=2){          num2 += num1;    }} 

分析：

1. 语句int num1, num2;的频度为1；
   语句i=0的频度为1；
   语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；
   语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；
   T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n
2. 忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数
   f(n) = n*log2n
3. lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)
   = 2*(1/n)(1/log2n) + 4(1/log2n) + 3

当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0
所以极限等于3。

T(n) = O(n*log2n)

简化的计算步骤

再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。

并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？
于是，以上步骤可以简化为：
1. 找到执行次数最多的语句
2. 计算语句执行次数的数量级
3. 用大O来表示结果

继续以上述算法为例，进行分析：
1. 执行次数最多的语句为num2 += num1
2. T(n) = n*log2n
f(n) = n*log2n
3. lim(T(n)/f(n)) = 1
T(n) = O(n*log2n)

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一些补充说明

最坏时间复杂度

算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

求数量级

即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。

求极限的技巧

要利用好1/n。当n趋于无穷大时，1/n趋向于0 

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一些规则(引自：时间复杂度计算 )

1. 加法规则
   T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )

2. 乘法规则
   T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))

3. 一个特例（问题规模为常量的时间复杂度）
   在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝ O(c)， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有
   T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )
   也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。

4. 一个经验规则
   复杂度与时间效率的关系：
   c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一个常量）
   |————————–|————————–|————-|
   较好 一般 较差
   其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

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复杂情况的分析

以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。

1. 并列循环的复杂度分析

将各个嵌套循环的时间复杂度相加。
例如：

for (i=1; i<=n; i++)　　    x++;　　for (i=1; i<=n; i++)　　    for (j=1; j<=n; j++)　　        x++;

解：
第一个for循环
T(n) = n
f(n) = n
时间复杂度为Ο(n)

第二个for循环
T(n) = n2
f(n) = n2
时间复杂度为Ο(n2)
整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2) = Ο(n2)。

2. 函数调用的复杂度分析

例如：

public void printsum(int count){    int sum = 1;    for(int i= 0; i<n; i++){       sum += i;    }       System.out.print(sum);}

分析：
记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。
所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

这里其实可以运用公式 num = n(n+1)/2，对算法进行优化，改为：

public void printsum(int count){    int sum = 1;    sum = count * (count+1)/2;       System.out.print(sum);}

这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1)，大大地提高了算法的性能。

3. 混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析

例如：

public void suixiangMethod(int n){    printsum(n);//1.1    for(int i= 0; i<n; i++){       printsum(n); //1.2    }    for(int i= 0; i<n; i++){       for(int k=0; k        System.out.print(i,k); //1.3      }  }

suixiangMethod 方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) —-> 忽略常数 和 非主要项 == O(n2)

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更多的例子

O(1)

交换i和j的内容

temp=i;   i=j;   j=temp;

以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n²) 示例

sum=0；                /* 执行次数1 */    for(i=1;i<=n;i++)             for(j=1;j<=n;j++)          sum++；        /* 执行次数n2 */

解：T(n) = 1 + n2 = O(n²)

for (i=1; i < n; i++)    {         y=y+1;       for (j=0;j<=(2*n);j++)           x++;            }

解： 语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n²-n-1
T(n) = 2n²-n-1+(n-1) = 2n²-2
f(n) = n²
lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n²) = 2
T(n) = O(n²).

O(n) 示例

a=0;   b=1;                        for (i=1;i<=n;i++)    {        s=a+b;　　　　      b=a;　　　　　        a=s;　　　　　   }

解： 语句1的频度：2,
语句2的频度：n,
语句3的频度：n,
语句4的频度：n,
语句5的频度：n,
T(n) = 2+4n
f(n) = n
lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
T(n) = O(n).

O(log2n)示例

i=1;       while (i<=n)  i=i*2; 

解： 语句1的频度是1,
设语句2的频度是t, 则：nt<=n; t<=log2n
考虑最坏情况，取最大值t=log2n,
T(n) = 1 + log2n
f(n) = log2n
lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
T(n) = O(log2n)

O(n³)

for(i=0;i < n;i++)   {        for(j=0; j < i ; j++)        {         for(k=0; k < j ;k++)            x=x+2;        }   }

解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,…,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+…+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+…+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n³-n)/2
f(n) = n³
所以时间复杂度为O(n³)。

FROM: http://univasity.iteye.com/blog/1164707