【笔记】二分图、网络流相关

二分图

这里的证明都是大概只有我能看懂的不严密证明…

二分图的可行边与必须边

建新图。
对于边<u,v>，若是匹配边，则v向u连边；若是非匹配边，则u向v连边。
源汇点同理：若<s,u>是匹配边，则u向s连边，否则s向u连边。若<u,e>是匹配边，则e向u连边，否则u向e连边。

然后求scc，若边<u,v>是匹配边且在同一个scc中，则是可行边；若是匹配边但不在同一个scc中则是必须边。

最小点覆盖=最大匹配

概念：二分图中选最少得点，使其覆盖所有的边。

可以贪心地去选点，使点出现在最大匹配上。

最小边覆盖=顶点数-最小点覆盖

概念：二分图中选最少的边，使其覆盖所有点。

首先可以贪心地选最大匹配上的边，因为这样可以一条边覆盖两个点。剩下的点只能由其他边一条边覆盖一个点了。

设最大匹配数为m，选的其他边的数量是a，满足2m+a=n，答案是m+a=n-m，即最小边覆盖=顶点数-最小点覆盖。

最大独立集=顶点数-最小点覆盖

概念：二分图中找一个最大点集，使得两点之间没有边。

去掉最少的点，剩下最多的点，使它们互相没有边。去掉的是点覆盖。

最小路径覆盖=原图顶点数-拆点后最大匹配

概念：有向无环图中选出不相交路径覆盖所有点，求不相交路径最小值。

拆点：把每个点拆成入点和出点，然后对于边<u,v>，加边<u,v′>。

可以发现有向无环图中的一条边对应二分图中一条匹配边。
有向无环图中的每条边的出点（from）对应于二分图的对应边匹配边左部点。
每条路径最后一个点没有对应。

所以最小路径覆盖=路径最后一个点最最少=最少未匹配点=原图顶点数-拆点后最大匹配

网络流

最小割的可行边与必须边

首先不管是可行边还是必须边都要是满流边，因为最小割。

必须边：容量增大后最小割值增大。
必须边求法：跑完最小割后在残量网络上从源点dfs，汇点反向dfs，枚举起点被源点搜到、终点被汇点搜到的满流边就是答案。
另一种求法是tarjan。鏼大爷Orz。

可行边好像只能tarjan？

tarjan求可行边、必须边（前提条件是满流）：
必须边：要求sccnum[u]==sccnum[s] && sccnum[v]==sccnum[e]。tarjan缩点后，若满足这个条件，那么扩大<u,v>的流量必能使最大流增大，所以是必须边。
可行边：要求sccnum[u]!=sccnum[v]，因为缩点后剩下的边只有满流边，任一割都满足这个条件，而这些边有可能会出现某一个最小割中，所以是可行边。

最大流

以S-T流表示方案，根据题意把方案列上，要能在图中找到所有题目要求信息的体现。

最小割

codevs1907方格取数3：二分图最大点权独立集=总边权-最小割。
相邻两格连INF边：防割。每次割的边表示不选，还可以保证冲突的点只选一个，保证是独立集。相当于去掉了最小点权覆盖集。

【bzoj1565】[NOI2009]植物大战僵尸：最大权闭合图=总正点权-最小割
源点向所有正点权为x的点建流量为x的边，负点权x的点向汇点建流量为-x的边，原图边容量INF。
证明略，详见胡伯涛论文。其中最大权闭合图在S集。

【poj2125】Destroying The Graph：二分图最小点权覆盖集=最小割
S连左部，容量为点权。右部连T，容量为点权。原边为INF。然后最小割。

最大点权独立集模型：对于一条边，要么只选u，要么只选v，要么都不选。

最小点权覆盖集模型：对于一条边，要么只选u，要么只选v，要么都选。

若有类似【最少的代价把集合分成两份】，可以考虑最小割。

费用流

在最大流表示所有方案的基础上，费用流是从所有方案中择优选取。

bzoj1834网络扩容：
题目要求最少扩建费用。在残量网络上建边，只要原图存在的边（不管现在流量是不是0）都建流量为INF，费用为wi的边，表示对这个边的扩建程度。还需要增加一个源点限制流量。

【COGS743】最长k可重区间集问题：最大权不相交路径

带上下界

主要是怎么建…