96 - Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1    \       /     /      / \      \     3     2     1      1   3      2    /     /       \                 \   2     1         2                 3

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知识点补充：

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

思路分析：

参考文章：http://blog.csdn.net/jiadebin890724/article/details/23305915

本题其实关键是递推过程的分析，n个点中每个点都可以作为root，当 i 作为root时，小于 i  的点都只能放在其左子树中，大于 i 的点只能放在右子树中，此时只需求出左、右子树各有多少种，二者相乘即为以 i 作为root时BST的总数。

        开始时，我尝试用递归实现，但是超时了，可见系统对运行时间有要求。因为递归过程中存在大量的重复计算，从n一层层往下递归，故考虑类似于动态规划的思想，让底层的计算结果能够被重复利用，故用一个数组存储中间计算结果（即 1~n-1 对应的BST数目），这样只需双层循环即可，代码如下：

/**/#include "stdafx.h"#include <iostream>#include <vector>using namespace std;struct TreeNode{int val;TreeNode *left;TreeNode *right;TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}};class Solution_096_UniqueBinarySearchTree{public:int numTrees(int n) {vector<int> num;num.push_back(1);for (int i = 1; i <= n; i++){num.push_back(0);if (i < 3){num[i] = i;}else{for (int j = 1; j <= i; j++){num[i] += num[j - 1] * num[i - j]; //此时节点总数为i - 1, 因为有一个root节点}}}return num[n];}};