异或运算及其应用
来源:互联网 发布:印度软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 21:22
异或是一种基于二进制的位运算,用符号XOR或者 ^ 表示,
其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位,同值取0,异值取1。
它与布尔运算的区别在于,当运算符两侧均为1时,布尔运算的结果为1,异或运算的结果为0。
一、异或的性质
- 交换律:a ^ b = b ^ a
- 结合律:a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c
- d = a ^ b ^ c 可以推出 a = d ^ b ^ c
- 自反性:a ^ b ^ a = b
二、异或的应用
交换两个数
最常见的做法就是增加一个临时变量,代码如下:
public void switchValue(int a, int b) { System.out.println("Before switch: a:" + a + "\tb:" + b); int temp = b; b = a; a = temp; System.out.println("After switch: a:" + a + "\tb:" + b); }
升级版,将两个数加减来实现,代码如下:
public void switchValue(int a, int b) { System.out.println("Before switch: a:" + a + "\tb:" + b); a = a + b; b = a - b; a = a - b; System.out.println("After switch: a:" + a + "\tb:" + b); }
利用异或运算,也可以将两个数交换,例如:
public void switchValue(int a, int b) { System.out.println("Before switch: a:" + a + "\tb:" + b); a = a^b; b = a^b; a = a^b; System.out.println("After switch: a:" + a + "\tb:" + b);}
算法题目
①1-1000放在含有1001个元素的数组中,只有唯一的一个元素值重复,其它均只出现一次。每个数组元素只能访问一次,设计一个算法,将它找出来;不用辅助存储空间,能否设计一个算法实现?
解法一:将所有数加起来,减去1+2+...+1000的和。
这个算法已经足够完美了,相信出题者的标准答案也就是这个算法,唯一的问题是,如果数列过大,则可能会导致溢出。
解法二:异或就没有这个问题,并且性能更好。将所有的数全部异或,得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或,得到的结果就是重复数。
解法一很显然,解法二需要证明一下:
前面提到异或具有交换律和结合律,所以1^2^...^n^...^n^...^1000,无论这两个n出现在什么位置,都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。其次,对于任何数x,都有x^x=0,x^0=x。所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000(即序列中除了n的所有数的异或)。令,1^2^...^n^..^1000(序列中包含一个n)的结果为T 则1^2^..^n^..^n^..^1000(序列中包含2个n)的结果就是T^n。 T^(T^n)=n。所以,将所有的数全部异或,得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或,得到的结果就是重复数。
②一个数组存放若干整数,一个数出现奇数次,其余数均出现偶数次,找出这个出现奇数次的数?
这个其实是①的一个变形题目,最直接的办法还是和上面一样,就是把所有数异或 (奇数个异或是本身,偶数个是0)
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