【GDOI 2016模拟3.16】装饰

题目描述

以以下规则，用红蓝绿三种颜色填充一个2×n的表格。

• 相邻的格子颜色不能相同。有公共边的格子就被视为是相邻的了。
• 每个2×2的格子内，每种颜色都至少要出现一次。

答案对109+7取模

n≤106

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分析

首先这个约束是非常紧的。
考虑将它取反，也就是说求出每一列没出现的颜色，排成一行，对应的每种颜色ci的数量变成n−cntci。
那么两行的信息，就可以通过这一列反色的信息，以及两行开头一列的排列顺序确定下来。

对应的，因为2×2方格内不能有缺失，所以反串也不能有连续相同的颜色。

那么我们先填充开头的颜色，记它的数量为x，于是整个序列就会被划分成若干段空白，当最后一位被选了，空白段数就是x−1，否则就是x，记它为cnt。
其中有一部分是奇数的，一部分是偶数的。
枚举一下有多少段是奇数的，记为odd，那么偶数段数就可以算出来，是cnt−odd。而且选取的方案数也可以通过组合数算出来，也就是(cntodd)。

首先剩下两种颜色的数量不妨记为y,z，设y<z，并且必须要有odd≥z−y
首先z要在某几个奇数中比y多出现一次，先排除掉，然后多余的odd−(z−y)需要两两分配，也就是总共要从odd个中选出odd−(z−y)2个y多的，共贡献(oddodd−(z−y)2)
那么剩下的y′就和剩下的z′数量一样了，都是y−odd−(z−y)2
那么剩下的y和z必须成对出现，每个段中至少要有一对yz，而odd不一定要有，cnt−odd一定要有，用挡板问题算出贡献为⎛⎝y−odd−(z−y)2+odd−1cnt−1⎞⎠。

最后的最后，因为偶数段无论是两者谁开头都可以，所以还要再乘上一个2cnt−odd。
至此，问题就基本解决了。

时间复杂度O(n)
空间复杂度O(n)