GDOI模拟 装饰

题目大意

有一个2∗M的彩带，彩带的每个格子都可以染上红色，蓝色，绿色中的一种颜色，一个彩带被称为合法的，当且仅当
1. 相邻两个格子的颜色不同
2. 对于每个2*2的小矩阵三种颜色都要出现
3. 整个彩带上有R个红色格子，B个蓝色格子，G个绿色格子。

给定M,R,B,G，求可能的合法彩带数。对109+7取模。

数据范围

R+B+G=2∗M,0≤M≤1000000

题解

我们不妨设Ai表示第i列没有出现的颜色，且满足Ai≠Ai−1。那么很显然地，假如我们确定了第一列的状态，以及所有的Ai，我们就唯一确定了这条彩带。因此，我们把原问题转化为给一个长度为M的序列染上三种颜色，相邻格子颜色不能相同，并且每种颜色有数量限制。

考虑枚举A1，设X为开头颜色的数量，Y,Z为剩下两种颜色的数量。假如所有开头颜色确定了其在序列中放的位置，那么剩下的格子就要被分为X段或X−1段，X−1段是因为开头颜色可能可以放在结尾。设G为最终分成的段数。对于每一段，我们分其长度为偶数或奇数两种情况考虑。

我们可以枚举最终有e段偶数，对于每段偶数段，必然是YZYZYZ或ZYZYZY的形式，因为需要保证相邻不相同。因为每一段都不能是空的，因此我们可以先给每段偶数段都先加入一个Y,Z，那么这两种颜色剩下的数量就是Y−e,Z−e。

对于奇数段的，假如我们确定了开头是Y还是Z，那么接下来还是类似于偶数段，只是形式已经确定了。假设最终有oy段奇数段开头为Y,oz段为Z，那么我们可以列出方程组
oy+oz=G−e
y−oy=z−oz

对于第二条等式，是因为你除了开头以外总是要保证Y,Z相邻，那么数量自然相同。那么我们就可以解出oy,oz了。

接下来考虑e段为偶数的贡献就是
(Ge)∗(G−eoy)∗2e∗(y−oy−e+g−1g−1)

第一条式子就是从G段中选出e段偶数段，接下来就是从G−e段奇数段中分配oy段给Y，然后对于每段偶数段，都可以选择Y开头或Z开头，因此是2e,最后一项是统计还剩下y−oy−e个Y，要把他们分配到g段中，注意每往一段中加入一个Y，必然要伴随一个Z，因此只需要考虑Y的分配即可。并且因为我们一开始已经往每一段中加入了一些Y和Z，所以最终分配时允许某一段分配为空，这就是一个挡板问题。

最终时间复杂度就是O(N)，空间复杂度也是O(N)。