BZoj 2190: [SDOI2008]仪仗队【欧拉函数】

2190: [SDOI2008]仪仗队

Time Limit:10000MS     Memory Limit:265216KB     64bit IO Format:%lld & %llu

Description

　　作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 　　  　　现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

Input

　　共一个数N。

Output

　　共一个数，即C君应看到的学生人数。

Sample Input

　　4

Sample Output

　　9

Hint

【数据规模和约定】 　　对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

数学思维不好，实在是伤不起，就算是看了大神的题解，自己理解起来也是模模糊糊，大概能明白规律

首先感觉题意不明确，对1*1 的情况没有说清楚，也许后台没有出这组数据（其实想说...肯定没有）

手动划上几组数据，不难找到规律

题解：

题目给出的方阵看成一个数表，记为A, 为了讨论方便，把行和列都从0 开始编号

途中有对称的部分，因此只讨论一半的情况：

A(i,j) 表示第 i 行，第 j 列的某个人，设体育委员位于A(0,0) ，

根据题意，如果体育委员和某个人的连线上有别的人，那么这个人是看不到的，

即为对于A(i,j),如果前 i 行中存在元素A(x,y) （i%x=j%y=0）,那么A(i,j) 必定是看不到的！（画图很直观）

那么对于第 i 行，有多少个点找不到能被挡住的，即找不到满足条件的x 和y 呢，答案是第i行上列数与i 互质的所有的点！

比较直观的理解便是：对于如果 j 和 i 互质，那么在前 i-1 列中能被 i 整除的行中必定找不到列数 能整除 j 元素！

也就是说对第 i 来说，新增加的看的到的人数，便是和i 互质的数量，也就是i 的欧拉函数值相加了，

对于所有的行来说，那就是1-n 的欧拉函数值的累加和了，当然，别忘了上面只讨论了一半的情况，而且注意副对角线上有个点正好没统计上，要额外加上

因此对于n 阶的方阵答案即为：

2*（φ(1)+φ(2)+....+φ(n-1)）+1   φ(i) 为 i 的欧拉函数值

另外注意输出用64位....

网上的很多题解不够详细，也许是他们感觉这题太水了，也可能是他们自己也没搞明白....

ps：以上推导可能非常不严谨，有错请大神指出，谢谢！

#include<stdio.h>typedef long long ll;ll euler(ll x){    ll ans=x;    for(ll i=2;i*i<=x;++i)    {        if(x%i==0)        {            ans=ans-ans/i;            while(x%i==0)            {                x/=i;            }        }    }    if(x>1)    {        ans=ans-ans/x;    }    return ans;}int main(){    ll n;    while(~scanf("%lld",&n))    {        ll ans=0;        for(ll i=1;i<n;++i)        {            ans+=euler(i);        }        printf("%lld\n",ans*2+1);    }    return 0;}