LightOJ 1245 - Harmonic Number (II) （找规律）

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1245 - Harmonic Number (II)

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I was trying to solve problem '1234 - Harmonic Number', I wrote the following code

long long H( int n ) {
    long long res = 0;
    for( int i = 1; i <= n; i++ )
        res = res + n / i;
    return res;
}

Yes, my error was that I was using the integer divisions only. However, you are givenn, you have to find H(n) as in my code.

Input

Input starts with an integer T (≤ 1000), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n < 2³¹).

Output

For each case, print the case number and H(n) calculated by the code.

Sample Input

Output for Sample Input

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2147483647

Case 1: 1

Case 2: 3

Case 3: 5

Case 4: 8

Case 5: 10

Case 6: 14

Case 7: 16

Case 8: 20

Case 9: 23

Case 10: 27

Case 11: 46475828386

 

题目大意：

就是根据这个代码：

long long H( int n ) {    long long res = 0;    for( int i = 1; i <= n; i++ )        res = res + n / i;    return res;}

我们要求的就是H(n)；

解题思路：

首先我们观察一下数据范围，2^31次方有点大，暴力会超时，所以我们看看有没有啥规律，假设 tmp 是 n/i 的值，当n == 10的时候（取具体值）

当 tmp = 1 时，个数 是10/1 - 10/2 == 5个

当 tmp = 2 时，个数 是10/2 - 10/3 == 2个

当 tmp = 3 时，个数 是10/3 - 10/4 == 1个

…………

当 tmp = 10时，个数是10/10 - 10/11 == 1个

所以我们发现有个规律了，当tmp == i 的时候，我们要求的个数就是 10/i - 10/(i+1)，然后我们前1 — sqrt(n)个数的数值还是比较大的，但是数据范围变小了

暴力可以求出来，剩下的 sqrt(n)+1 — n个数中 数据范围还是比较大，但是 n/i 的数据范围介于 1 - sqrt(n)之间，所以用我们找出的规律可以求出来，我们只需要

两个for循环就搞定了，时间复杂度 O(sqrt(n)),完全可以，剩下的就是编写程序了

上代码：

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;typedef long long LL;int main(){    int T;    LL n;    cin>>T;    for(int cas=1; cas<=T; cas++)    {        cin>>n;        int m = sqrt(n);        LL ret = 0;        for(int i=1; i<=m; i++)            ret += n/i;        for(int i=1; i<=m; i++)            ret += (n/i - n/(i+1))*i;        if(m == n/m)            ret -= m;        cout<<"Case "<<cas<<": "<<ret<<endl;    }    return 0;}