分赌本问题与概率论起步

来源：互联网发布：淘宝哪家女童卖的好编辑：程序博客网时间：2024/06/04 22:24

分赌本问题与概率论起步

问题提出

分赌本问题：假设A、B两个人赌博，假设每一局中每人获胜的概率是相同的，刚开始下的赌注均是a，并且约定双方谁先获胜S局，谁就拿走所有的赌本，但是中途由于一些原因，不得不终止比赛，此时A胜S1局，B胜S2局，问此时赌本该怎么分配才均匀？这个问题最早的描述出现于1494年帕西奥利的一本著作，其中是S=6，S1=5，S2=2的情况。注意：本文假设在赛点不会出现平局。

分赌本问题在概率论的发展史上有过重要的作用，可能这是最早的起源，所以我觉得有必要花些时间来研究一下其中的思想。

需要考虑的三个问题

对于赌本是否分配均匀的问题，我觉得有必要探讨，早期对于赌本是否均匀有不同的解释，其中帕西奥利本人提出应该按照S1：S2来划分赌本，塔泰格利亚提出应该按照下面的方法划分赌本：首先比较S1和S2哪个大，假设S1比较大，那么此时A拿走他自己的赌本，并且将B的赌本按照比例：S1−S2S拿走，等等的一些看似很“公平”的方式，但是其实都没什么道理，后期卡丹诺在《机遇博弈》一书中提出了一种解法，他首次提出，实际上赌本分配是否均匀，应该看的是S1和S2与S的差距，但是他的解法仍然不对，我们顺着他的思路继续向后思考，确实，均匀的分配应该看的是：假如继续赌下去，究竟会是谁赢？谁赢的概率会比较大？针对上面的思路，我提出三个问题去思考：

至多再赌几局就能分出输赢？
在这种情况下A胜利的概率是多大？
在这种情况下B胜利的概率是多大？

解决提出的问题

1. 至多需要再赌几局就能分出输赢？

关于至多需要再赌几局就能分出输赢的问题，其实并不是很难，我做了大量的示例并总结出了一个公式，这个公式是经验公式，有待于用严格的数学证明来验证，下面我通过几个示例对该问题做出详细的说明。

[示例1]目前正在进行一场围棋比赛，分别有A、B两名选手，A选手目前赢了一局，B选手目前赢了两局，问最多进行几场比赛就能确定本次比赛的结果。
[分析]很显然下一场不能是B赢，因为B一旦赢下一场，那么将结束整个比赛，所以A再赢一场，之后出现A、B均胜两场，之后再比赛一场便可以分出胜负（下面的所有问题均假定不会在赛点出现平局的情况，因为如果在赛点出现平局将会导致问题变的复杂，可能一直在赛点出现平局，比赛根本就不会有胜利者，当然也不存在上限的问题），所以，本次比赛要分出胜负，至多需要进行2场比赛。该次比赛的结果可以这样理解，首先A、B都赢到（3-1）场，接着再进行一场便可以分出胜负，显然A还需要赢1场，而B不需要，在A、B均赢得两场胜利之后，再比赛一场便可以分出胜负，所以最多只需要进行2场比赛，显然和前面的分析结果是一致的。

[示例2]
假设A、B两个人赌博，假设每一局中每人获胜的概率是相同的，刚开始下的赌注均是a，并且约定双方谁先获胜S=6局，谁就拿走所有的赌本，但是中途由于一些原因，不得不终止比赛，此时A胜S1=5局，B胜S2=2局，此时本次比赛最多进行几场比赛便可以分出胜负？
[分析]，显然不能使A赢得比赛，一旦A赢得比赛，本次比赛将结束，所以只能是B赢得比赛，直到A、B都是5场时，此时需要进行3场比赛，然后两人打成平局，最后再进行一局比赛，便可以分出胜负，所以至多进行4场比赛，便能结束整场比赛。该次比赛结果可以这样理解，A和B都赢得（6-1）场，之后，显然A不需要，B只需要进行3场比赛，最后再进行一场比赛就可以分出胜负，所以最多进行4场比赛便可以分出胜负，显然和前面的分析结果是一致的。

[示例3]
假设A、B两个人赌博，假设每一局中每人获胜的概率是相同的，刚开始下的赌注均是a，并且约定双方谁先获胜S=6局，谁就拿走所有的赌本，但是中途由于一些原因，不得不终止比赛，此时A胜S1=4局，B胜S2=2局，此时本次比赛最多进行几场比赛便可以分出胜负？
[分析]假设A先赢得一局比赛，那么此时A胜利5场，B胜利2场，又变成了示例2的情况，这种情况下只需要进行5场比赛。假设B先赢得比赛，此时A赢得4场，B赢得3场，再假设B赢得比赛，结果变成A、B均为4场，此时至少要进行3场比赛才能结束比赛，需要进行5场，如果假设A又赢得一场比赛，结果变为A赢得5场，B赢得3场，至多再执行3场，总的来说就是至多进行5场比赛就能分出胜负。该次比赛结果可以这样理解，A和B均先达到（6-1）场比赛，显然A需要进行1场，B需要进行3场，最后再进行一次比赛，总共只要进行5场比赛便可以结束整个过程，显然和前面的分析结果是一致的。

通过上面的例子抽象出一个找至多执行次数的公式：A要达到S−1需要进行S−1−S1，同样B要达到S−1需要进行S−1−S2，最后再进行一场比赛便结束整个过程，所以至多再赌S−1−S1+S−1−S2+1=2S−S1−S2−1场

这个公式是一个经验公式，我一直想找一种合适的推理方式，但是并不那么直观，这种非直观可能源于概率论整体的发展历史，并没有和数学那样有严格的理论证明。

2. A胜利多少场？

在1494年，可鞥解决这个问题还是比较复杂的，因为当时还没有引入排列组合的计算方式，在这之后，古典概型随机开始萌芽，整个概率论开始发展，直到前苏联数学家柯尔摩格洛夫引入了概率应该遵守的一些性质，才使得概率论得以发展。A胜利的次数，实际上这个问题就是一个简单的二项分布，A至少需要胜利S−S1场比赛，那么在整个2S−S1−S2−1场比赛中会出现以下可能性：恰好胜利S−S1场，恰好胜利S−S1+1，⋯，恰好胜利2S−S1−S2−1，实质就是简单的二项分布，不再说明，不会的请参见相关教材中二项分布的计算。

3. B胜利多少场？

同样的问题，不再赘述。

总结

分赌本问题十分经典，几乎是整个概率论的起点，当然上面的问题可以转化为多赌徒问题，并且在本文中假设每一局每个赌徒赢得比赛的概率是相同的，实际上不必要做这种假设，可以扩展。

参考资料

http://wzhangkm.blog.163.com/blog/static/1955117820078190421778/
http://open.163.com/movie/2011/6/P/A/M82IC6GQU_M83JAIVPA.html

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