二分查找

题目描述：给定一个排序的整数数组（升序）和一个要查找的整数target，用O(logn)的时间查找到target第一次出现的下标（从0开始），如果target不存在于数组中，返回-1。

样例：在数组 [1, 2, 3, 3, 4, 5, 10] 中二分查找3，返回2。

二分查找是算法中非常重要的思想。正常情况下，我们在一个数组中查找一个数是否存在，该怎么做呢？当然是与数组中的元素一个个对照，那这样一来，查找一个数的时间复杂度就变成了O(n)，这也似乎是一个不可能再优化的算法了。但是，不能优化的前提是我们并不知道这个数组的任何规律，或者说这个数组本身就是没有规律的。而如果这个数组是一个排好序的，那情况就不一样了。

例如下面这个数组：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，我们现在想确定2在不在其中：

（1）找到数组的中间数（规定在数组为偶数时，取索引为数组长度除2的数；数组长度为奇数时，取索引为不大于数组长度除2的最大整数，说的有点多，其实举例就是：数组为[1, 2]时取1，数组为[1, 2, 3]时取2）。在这里，我们取4为中间数

（2）如果中间数>目标，那么只需要在中间数之前的部分数组中查找（排好序的）；如果中间数<目标，在中间数以后的数组中查找；如果中间数等于目标，直接输出。此处，我们发现中间数4大于目标，于是，在[1, 2, 3]中查找

（3）反复前两步，直到找到为止

上面这个例子就是二分查找的基本思想了，实际上是通过“二分”的办法逐步逼近目标。写程序时，我们一般使用两个指针left,right分别指向查找范围的第一个和最后一个数（这种两个指针的使用，也可以看做是“二分法”的标配），那么，像上面这样没有重复元素的二分查找程序就很简单了：

def binary_search(nums, target):    # 设置两个指针    left, right = 0, len(nums) - 1    # 为了完成彻底的“逼近”，只要left<=right就继续查找    # 这样的循环条件，也被看作是二分法的“标配”    while left <= right:        mid = (left + right) // 2        if nums[mid] == target:            return mid        if nums[mid] < target:            left = mid + 1        if nums[mid] > target:            right = mid - 1    # 没有找到，返回-1

反过来，再来看lintcode中这道题，难点其实就在有重复的数据，而题目要求查找的是第一个出现的位置，也就是说，当我们查到某一个nums[mid] == target，还不能直接将mid返回，而要继续查找mid之前的部分数组，所以，可以将程序略作修改：

class Solution:    # @param nums: The integer array    # @param target: Target number to find    # @return the first position of target in nums, position start from 0     def binarySearch(self, nums, target):                left, right = 0, len(nums) - 1                while left <= right:            mid = (left + right) // 2            # 即便nums[mid] == target，也要继续查左边的部分            if nums[mid] >= target:                right = mid - 1            else:                left = mid + 1                if left <= len(nums) and nums[left] == target:            return left                    return -1        # write your code here

需要特别注意的是17行：我们现在考虑数组中能查到的情况，只要能查到，那么while循环结束后，必将令left指向的元素为目标；而如果查不到，要么left越界，比如target值大于数组最大值（也就是数组最后一个元素）；要么nums[left] != target，比如target值小于数组最小值。只有left <= len(nums) 与 nums[left] == target两个条件同时满足，才能证明是找到了。

下面，我们就来看看另外一个及其相似的例子--搜索插入位置