BZOJ2005能量采集

2005: [Noi2010]能量采集
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Description
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。
Input
仅包含一行，为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4
Sample Output
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
【数据规模和约定】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；
对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；
对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；
对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。
2D GCD sum
∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)
∑ni=1∑mj=1∑d|gcd(i,j)φ(d)
∑ni=1∑mj=1∑d|i,d|jφ(d)
∑d≤nφ(d)⌊nd⌋⌊md⌋
80分code：

#include<cstdio>#include<cmath>#include<iostream>using namespace std;long long ans,n,m,d;long long read(){    long long w=0,c=1; char ch=getchar();    while (ch<'0' || ch>'9')      {        if (ch=='-') c=-1;        ch=getchar();      }    while (ch>='0' && ch<='9')      w=w*10+ch-'0',ch=getchar();    return w*c;}long long phi(long long x){    long long t=x,i;    for (i=2;i<=m;i++)      if (x%i==0)        {            t=t/i*(i-1);            while (x%i==0) x/=i;        }    if (x>1) t=t/x*(x-1);    return t;}int main(){    n=read(),m=read();    if (n>m) swap(n,m);    for (int i=1;i<=n;i++)      ans+=(long long)phi(i)*(n/i)*(m/i);    printf("%lld",ans*2-(long long)n*m);    return 0;}

⌊nd⌋⌊md⌋至多只有n√+m−−√个取值
对于值相同的一段连续计算
需要预处理欧拉函数的前缀和
复杂度：O（n）-O（n√）
100分code：

#include<cstdio>#include<cmath>#include<iostream>using namespace std;long long ans,n,m,f[100001];long long read(){    long long w=0,c=1; char ch=getchar();    while (ch<'0' || ch>'9')      {        if (ch=='-') c=-1;        ch=getchar();      }    while (ch>='0' && ch<='9')      w=w*10+ch-'0',ch=getchar();    return w*c;}int main(){    n=read(),m=read();    if (n>m) swap(n,m);    for (long long i=n;i;i--)      {        f[i]=(n/i)*(m/i);        for (long long j=2*i;j<=n;j+=i)          f[i]-=f[j];        ans+=f[i]*(2*i-1);      }    printf("%lld",ans);    return 0;}