空间坐标变换与投影

华电北风吹
日期：2016年3月26日

一、坐标变换
在线性空间中在不同的一组基下，向量的坐标是不一样的，他们有固定的转换关系。依据就是在他们的坐标在标准正交基下坐标相等。
n维空间中标准正交基为e1,e2,...,en，在空间中的两组基分别为ξ1,ξ2,...,ξn和η1,η2,...,ηn。他们之间过渡矩阵用A表示，则有，
[ξ1,ξ2,...,ξn]=[η1,η2,...,ηn]A,A∈RN×N(1)
即
ξ1=a11η1+a21η2+an1ηn
ξ2=a12η1+a22η2+an2ηn
…
ξn=a1nη1+a2nη2+annηn
若同一向量在ξ1,ξ2,...,ξn和η1,η2,...,ηn下的坐标分别为x和y，即
[ξ1,ξ2,...,ξn]x=[η1,η2,...,ηn]y
可得y=Ax，或者x=A−1y

二、投影
在PCA，LDA中需要将原始样本坐标对一个方向进行投影。比如对于向量x对方向w进行投影，其中x,w∈RN且|w|=1。其中，投影后x在w方向上的坐标其实就是x与w的内积<x,w>