基变换与坐标变换

    近来正在看《3D Math Primer for Graphics and Game Development》——《3D数学基础：图形与游戏开发》，清华大学出版社，当看到第八章——矩阵与线性变换时，不禁产生疑问：当绕X轴旋转时，求出旋转后的基向量矩阵Rx：

 

　　　　　　　　   |   1     0           0   |
Rx= [p' q' r'] =     |   0    cos@   sin@ |
                           |  0    -sin@   cos@ |

 

基中@为绕X轴顺时针旋转的角度；得到这个旋转矩阵之后有什么作用呢？

 

      参考《线性代数》的书中基变换与坐标变换那一章中有这样的描述： 在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可以作为V的一组基，对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的。那么同一向量在不同的基中的坐标有什么关系呢？换句话说：随着基的改变，向量的坐标怎样改变呢？

      基变换公式与过渡矩阵：根据基变换公式的定义：(β1　β2 .....βn)  = (α1　α2 ......αn) P， 其中矩阵P为由基α1　α2 ......αn到基β1　β2 .....βn的过渡矩阵。过渡矩阵P是可逆的。

     根据定义对应上述绕X轴转的矩阵可知：原来的基α1　α2 ......αn是单位矩阵， 通过旋转变换到新的基β1　β2 .....βn， 基中新的基为矩阵Rx，根据基变换的定义知： β　=  αP， 因为原来的基矩阵为单位矩阵，所以得到过渡矩阵即为Rx。

   有了过渡矩阵P，就可求出同一向量在新的基即坐标系中的坐标，只需求出过渡矩阵P的逆矩阵，再和原坐标做矩阵的乘法即可。