n个骰子点数和及各自出现的概率

题目：把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为S。输入n，打印出S的所有可能的值出现的概率。

这道算法题可采取动态规划法来求解。鉴于《剑指Offer》中对该题的解法晦涩难懂，尤其是代码，也没有指明其解题的思路本质上就是动态规划，所以提出自己的理解和答案。

动态规划法简介：
动态规划法求解的总体过程就是将问题分为多个不同的阶段的问题，根据最开始阶段已知的问题的解逐步推导出最终解。即动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。

过程细化为：
第一步，确定问题的解的表达式，称之为状态。
第二步，将最终问题的构造成上一阶段问题的解（可能被拆分为多个子问题的解），即根据当前阶段问题的解求出下一阶段问题的解方法，即递推公式，称之为状态转移方程。

已知初始状态的解，有了状态和状态转移方程，逐步递推，即可求出最终的解。

动态规划法求解过程可以使用递归来实现，也可以使用迭代来实现。递归的优势就是代码简洁明了，但是递归有时会对不同阶段的子问题重复求解，所以效率低于迭代。

解题思路：
第一步，确定问题解的表达式。可将f(n, s) 表示n个骰子点数的和为s的排列情况总数。
第二步，确定状态转移方程。n个骰子点数和为s的种类数只与n-1个骰子的和有关。因为一个骰子有六个点数，那么第n个骰子可能出现1到6的点数。所以第n个骰子点数为1的话，f(n,s)=f(n-1,s-1)，当第n个骰子点数为2的话，f(n,s)=f(n-1,s-2)，…，依次类推。在n-1个骰子的基础上，再增加一个骰子出现点数和为s的结果只有这6种情况！那么有：

f(n,s)=f(n-1,s-1)+f(n-1,s-2)+f(n-1,s-3)+f(n-1,s-4)+f(n-1,s-5)+f(n-1,s-6) ，0< n<=6n
f(n,s)=0, s< n or s>6n

上面就是状态转移方程，已知初始阶段的解为：
当n=1时, f(1,1)=f(1,2)=f(1,3)=f(1,4)=f(1,5)=f(1,6)=1。

代码实现：
递归版本：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>using namespace std;/****************************func:获取n个骰子指定点数和出现的次数para:n:骰子个数;sum:指定的点数和return:点数和为sum的排列数****************************/int getNSumCount(int n, int sum){    if(n<1||sum<n||sum>6*n){        return 0;    }    if(n==1){        return  1;    }    int resCount=0;    resCount=getNSumCount(n-1,sum-1)+getNSumCount(n-1,sum-2)+             getNSumCount(n-1,sum-3)+getNSumCount(n-1,sum-4)+             getNSumCount(n-1,sum-5)+getNSumCount(n-1,sum-6);    return resCount;}//验证int main(){    int n=0;    while(true){        cout<<"input dice num：";        cin>>n;        for(int i=n;i<=6*n;++i)            cout<<"f("<<n<<","<<i<<")="<<getNSumCount(n,i)<<endl;    }}

当输入骰子的个数为3时，实验结果如下：

下面给出非递归，即迭代版本：
迭代版本：

/****************************************func:给定骰子数目n，求所有可能点数和的种类数para：n:骰子个数;count:存放各种点数和的种类数，下标i表示点数和为（i+n）return:出错返回-1，成功返回0****************************************/int getNSumCountNotRecusion(int n, int* count){    if(n<1)        return -1;    //初始化最初状态    count[0]=count[1]=count[2]=count[3]=count[4]=count[5]=1;    if(n==1) return 0;    for(int i=2;i<=n;++i){        for(int sum=6*i;sum>=i;--sum){            int tmp1=((sum-1-(i-1))>=0?count[sum-1-(i-1)]:0); //上一阶段点数和sum-1的排列总数            int tmp2=(sum-2-(i-1)>=0?count[sum-2-(i-1)]:0);            int tmp3=(sum-3-(i-1)>=0?count[sum-3-(i-1)]:0);            int tmp4(sum-4-(i-1)>=0?count[sum-4-(i-1)]:0);            int tmp5=(sum-5-(i-1)>=0?count[sum-5-(i-1)]:0);            int tmp6=(sum-6-(i-1)>=0?count[sum-6-(i-1)]:0);            count[sum-i]=tmp1+tmp2+tmp3+tmp4+tmp5+tmp6;        }    }    return 0;}//验证int main(){    int n;    while(true){        cout<<"iteration input dice num：";        cin>>n;        int* count=new int[5*n+1];        memset(count,0,(5*n+1)*sizeof(int));        getNSumCountNotRecusion(n,count);        int allCount=0;        for(int i=0;i<5*n+1;++i){            cout<<"f("<<n<<","<<i+n<<")="<<count[i]<<endl;            allCount+=count[i];        }        delete[] count;    }}

当输入骰子个数为3时，所有可能的点数和的排列情况如下图：

小结
实验至此，给定n个骰子，求各个点数和出现的概率就不难求，只需要除以总的排列数6n就可以了。参考如下代码：

    int total = pow((float)6, n);       for(int i = n; i <=6*n; ++i){   //n:骰子数目        float ratio = (float)getNSumCount(n,i)/total;          printf("%d: %f/n", i, ratio);      }  

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参考文献

[1]剑指Offer.何海涛.电子工业出版社.
[2]求n个骰子各点数和出现的概率-动态规划.
[3]解题笔记(18)__n个骰子的点数.