[BZOJ4134][JZOJ4401]ljw和lzr的hack比赛

来源：互联网发布：蜂窝移动数据开关无效编辑：程序博客网时间：2024/06/12 13:18

题目大意

给定一棵有n个节点的树，每个点有黑白两色之一。
Alice和Bob轮流操作，每次先手选择一个白点，将其到根路径上所有点染黑。一开始Alice是先手，两人都选最优策略，不能操作者输。
要求输出Alice是否能赢。如果能赢，那么第一步可以选择哪些节点。
初始时不是所有点都为白点，每个点的颜色会给定。

1≤n≤100000

题目分析

我们先将黑点去掉，白点的父亲设置为它到根路径上第一个白点，重建出一个森林，显然一个子树的胜负状况与其它点无关，且能够通过根节点各儿子节点的子树的胜负状况决定。
那么我们就可以使用sg函数来求解了。设sg(x)表示以x为根的子树的估价函数。
考虑如何递推估价函数。显然，删除x到根路径，其估价函数值为删除该路径后，将剩余所有部分（一堆子树）的sg做一遍Nim和，设其为s(x)。
那么sg(x)=mex{s(y)|y∈subtree(x)}。
当然我们肯定不能每次计算都枚举子树，考虑是否存在递推关系。
显然某一棵子树的s(y)集合，到了计算其根节点父亲子树时，都异或上了根节点其它儿子子树的估价函数异或和。
那么我们可以使用字典树保存集合，需要维护的操作有整棵树异或一个数（打标记下传即可），插入一个数，求mex（记录每棵子树是否已满，如果0边没有满，就沿着0边走）。
最后对森林所有树做Nim和就知道先手胜负了，设结果为nim。
考虑怎么找第一步可行操作。根据sg函数的定义，我们只需在森林每一棵树中找到所有估价函数为nim xor sg(x)的所有路径起点即可，这个东西可以使用模拟链表，在插入时顺便插入，在合并时也合并好。
别忘了处理子树x时要将删除其本身的这种转移的估价函数插入字典树，其值为所有儿子子树估价函数异或和。
时间复杂度O(nL)（L为sg函数的最大值以2为底的对数）。关于Trie合并的复杂度，和之前某道线段树合并一样，我不会证明。

代码实现

#include <algorithm>#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cctype>#include <cmath>using namespace std;const int N=100500;const int M=N<<1;const int L=31;const int S=N*L;int read(){    int x=0,f=1;    char ch=getchar();    while (!isdigit(ch))    {        if (ch=='-')            f=-1;        ch=getchar();    }    while (isdigit(ch))    {        x=x*10+ch-'0';        ch=getchar();    }    return x*f;}int buf[20];void write(int x){    if (x<0)        putchar('-'),x=-x;    buf[0]=0;    while (x)    {        buf[++buf[0]]=x%10;        x/=10;    }    while (buf[0])        putchar('0'+buf[buf[0]--]);}int power[L];int ans[N];struct Trie{    int tag[S],son[S][2],head[S],tail[S],id[S];    int v[N],next[N],root[N];    bool full[S];    int tot,cnt;    void X(int rt,int edit)    {        if (id[rt]<0||!rt)            return;        tag[rt]^=edit;        if ((edit>>id[rt])&1)            swap(son[rt][0],son[rt][1]);    }    void clear(int rt)    {        if (!rt)            return;        if (tag[rt])        {            X(son[rt][0],tag[rt]),X(son[rt][1],tag[rt]);            tag[rt]=0;        }    }    void update(int x)    {        full[x]=full[son[x][0]]&&full[son[x][1]];    }    int newnode()    {        tag[++tot]=0;        son[tot][0]=son[tot][1]=0;        return tot;    }    void init()    {        tot=0;    }    int merge(int rt1,int rt2)    {        clear(rt1),clear(rt2);        if (!rt1||!rt2)            return rt1+rt2;        if (rt1==rt2)            return rt1;        next[tail[rt1]]=head[rt2];        if (tail[rt2])            tail[rt1]=tail[rt2];        son[rt1][0]=merge(son[rt1][0],son[rt2][0]);        son[rt1][1]=merge(son[rt1][1],son[rt2][1]);        if (id[rt1]!=-1)            update(rt1);        return rt1;    }    int insert(int dig,int rt,int x,int y)    {        if (!rt)            rt=newnode(),id[rt]=dig;        clear(rt);        if (dig==-1)        {            full[rt]=true;            v[++cnt]=y;            next[cnt]=head[rt];            if (!head[rt])                tail[rt]=cnt;            head[rt]=cnt;            return rt;        }        int w=(x>>dig)&1;        son[rt][w]=insert(dig-1,son[rt][w],x,y);        update(rt);        return rt;    }    int mex(int dig,int rt)    {        clear(rt);        if (dig==-1)            return 0;        if (full[son[rt][0]])            return mex(dig-1,son[rt][1])+power[dig];        else            return mex(dig-1,son[rt][0]);    }    void search(int rt,int x)    {        for (int i=L-1;i>=0;i--)        {            clear(rt);            int w=(x>>i)&1;            rt=son[rt][w];            if (!rt)                return;        }        int i=head[rt];        while (i)        {            ans[++ans[0]]=v[i];            i=next[i];        }    }}t;int sg[N],fa[N],rts[N],last[N];int next[M],tov[M];bool color[N];int n,tot;void insert(int x,int y){    tov[++tot]=y;    next[tot]=last[x];    last[x]=tot;}void dfs(int x){    int i=last[x],y,xors=0;    while (i)    {        y=tov[i];        dfs(y);        xors^=sg[y];        i=next[i];    }    i=last[x];    while (i)    {        y=tov[i];        t.X(t.root[y],xors^sg[y]);        i=next[i];    }    i=last[x];    int R=0;    while (i)    {        y=tov[i];        R=t.merge(R,t.root[y]);        i=next[i];    }    t.root[x]=t.insert(L-1,R,xors,x);    sg[x]=t.mex(L-1,t.root[x]);}void build(int x,int fr,int z){    fa[x]=z;    int i=last[x],y;    while (i)    {        y=tov[i];        if (y!=fr)            if (!color[x])                build(y,x,x);            else                build(y,x,z);        i=next[i];    }}int main(){    power[0]=1;    for (int i=1;i<L;i++)        power[i]=power[i-1]<<1;    freopen("dierti.in","r",stdin);    freopen("dierti.out","w",stdout);    n=read();    for (int i=1;i<=n;i++)        color[i]=read();    for (int i=1,x,y;i<n;i++)    {        x=read(),y=read();        insert(x,y),insert(y,x);    }    build(1,0,0);    memset(last,0,sizeof last);    memset(tov,0,sizeof tov);    memset(next,0,sizeof next);    tot=0;    for (int i=1;i<=n;i++)        if (fa[i]&&!color[i])            insert(fa[i],i);    for (int i=1;i<=n;i++)        if (!fa[i]&&!color[i])            rts[++rts[0]]=i;    t.init();    for (int i=1;i<=rts[0];i++)        dfs(rts[i]);    int xors=0;    for (int i=1;i<=rts[0];i++)        xors^=sg[rts[i]];    if (xors)    {        for (int i=1;i<=n;i++)            t.search(t.root[rts[i]],xors^sg[rts[i]]);        sort(ans+1,ans+1+ans[0]);        for (int i=1;i<=ans[0];i++)            write(ans[i]),putchar('\n');    }    else        write(-1);    fclose(stdin);    fclose(stdout);    return 0;}

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