bzoj2186沙拉公主的困惑

2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑

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Description

　　大富翁国因为通货膨胀，以及假钞泛滥，政府决定推出一项新的政策：现有钞票编号范围为1到N的阶乘，但是，政府只发行编号与M!互质的钞票。房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量。现在，请你帮助沙拉公主解决这个问题，由于可能张数非常大，你只需计算出对R取模后的答案即可。R是一个质数。

Input

第一行为两个整数T，R。R<=10^9+10，T<=10000，表示该组中测试数据数目，R为模后面T行，每行一对整数N，M，见题目描述 m<=n

Output

共T行，对于每一对N，M，输出1至N！中与M！素质的数的数量对R取模后的值

Sample Input

1 11
4 2

Sample Output

1

HINT

数据范围：
对于100%的数据，1 < = N , M < = 10000000

Result

13561197103956412186Accepted252764 kb11312 msC++/Edit1111 B2016-03-28 09:34:27

Analisys

      首先，令n=N!，m=M!，∵M<=N ∴m|n，所以问题化为求1-n中与m互质的数的个数，即(n/m)*phi(m)，其正确性是显然的。如果一个数x<m且和m互质，即gcd(x,m)=1，那么gcd(x+km,m)=1，假设x+km和m不互质，那么一定存在一个m的因数y，使得y也是x+km的因数，即能写成y(x/y+km/y)，但x中没有y这个因子∴假设不成立，∴gcd(x+km,m)=1，对于每一个小于m的和m互质的数，都能用这个式子退出剩下的大于m小于等于n且和m互质的数，于是我们得到ans=(n/m)phi(m)，这样是否包含了所有的答案呢？可以看到对于任意一个和m互质的数，减去km一定能得到m以内的一个和m互质的数，因此上式包含了所有的符合要求的数
      问题变成求(N!/M!)phi(M!)的值，由于M!是阶乘，所以phi(i)=M!(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)，1到pk是小于等于M的所有素数，O(MloglogM)筛出，约去M!得ans=N!(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)，所有的N!都可以在O(N)的预处理求出，因为要modR，所以需要求p1到pk的逆元，方程inv[i]=(M-M/i)inv[M%i]%M，O(N)的预处理。对于T组数据，每一组都要根据M的大小选择素数表的前k个素数做乘法，复杂度是O(TM/logM)，这个数大约是5*10^9，超时。

      经大神点拨，我们观察式子：ans=N!(1-p1/1)(1-p2/1)...(1-pk/1)，对于不同的询问，只有N!和k不同，既然能够预处理N!，何不预处理后面的乘积？进行O(M)的预处理，每次回答的复杂度降为O(1)。
      总时间复杂度O( N + MloglogM + N + M + T) = O(N+MloglogM)

Code

//bzoj2186 sdoi2008莎拉公主的困惑#include <cstdio>#define ll long long#define maxn 10000000#define maxk 1000000using namespace std;ll p[maxk], R, inv[maxn+100], N, M, tot, fac[maxn+100],ans[maxn+100], T;bool no[maxn+100];void getinv(){int i, m=(R<maxn?R:maxn); inv[1]=1;for(i=2;i<m;i++)inv[i]=(ll)(R-R/i)*inv[R%i]%R;}void shai(){int i, j;for(i=2;i<=maxn+1;i++){if(!no[i])p[++tot]=i;for(j=1;i*p[j]<=maxn;j++){no[i*p[j]]=true;if(i%p[j]==0)break;}}}void getfac(){int i;fac[1]=1;for(i=2;i<=maxn;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%R;}void getans(){int i, j;ll t;ans[1]=1;for(i=1;i<=tot;i++){t=(ll)ans[p[i]-1]*(p[i]-1)%R*inv[p[i]%R]%R;for(j=p[i];j<p[i+1];j++)ans[j]=t;}}int main(){int i;scanf("%d%d",&T,&R);shai();getinv();getfac();getans();while(T--){scanf("%d%d",&N,&M);printf("%lld\n",fac[N]*ans[M]%R);}return 0;}

HINT