k邻近算法

3.1k邻近算法

      给定一个训练数据集，对于新的输入实例，在训练数据集中找到该实例最近的K 的实例，这k个实例的多数属于某个类，酒吧该输入实例分为这个类。

算法3.1

输入:训练数据集

其中xi为实例的特征向量，yi为实例的类别，

输出：实例x的类y

（1）根据给定的距离度量，在训练集T中找出与x最邻近的k个点，涵盖这个K个点的x的邻域记做Nk(x)；

（2）在Nk(x)中根据分类决策规则（如多数表决决定x的类别y）：

I为指示函数，当yi=cj时，I为1，否则I为0。

      k邻近算法的特殊情况是k=1的情形，称为最邻近算法，对于输入的实例点x，最邻近算法将数据集中与x最邻近的点的类作为x的类。

      k邻近算法没有显示的学习过程。

3.2k邻近模型

3.2.1模型

     k邻近算法中，当训练量、距离度量、k值以及分类决策规则确定后，对于任何一个新的输入实例，它所属的类别唯一确定。

     特征空间中，对每个训练实例点xi,距离该店比其他店更近的所有点组成一个区域，叫做单元。所有训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分。最邻近发将实例xi的类yi作为其单元中所有点的类标记。这样，每个单元的实例点的类别是确定的。

3.2.2距离度量

略

3.2.3k值的选择

k值过小容易发生过拟合，过大意味着模型变得简单。通常爱去交叉验证法来选取最优的k值

3.2.4分类决策规则

a.多数表决规则

    如果分类的损失函数为0-1损失函数

分类函数为

那么误分类的概率为

3.3k邻近算法的实现：kd树

3.3.1构造kd树

算法3.2 构造kd平衡树

输入：k维空间数据集

其中

输出：kd树

（1）开始：构造根节点，根节点对应于包含T的k维空间的超矩形区域。选择为坐标轴，以T中所有实例的坐标的中位数为切分点，将根节点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴垂直的超平面实现。

         由根节点生成深度为1的左右节点：左子节点对应坐标小于切分点的子区域，右子节点对应于坐标大于切分点的子区域。

（2）重复：对深度为j的结点，选择为切分的坐标轴，l=j(mod)k+1,以改节点的区域中所有实例的坐标的中位数为切分点，将该节点对应的超巨型区域切分为两份子区域。切分由通过切分点并与坐标轴垂直的超平面实现。

         由该节点生成深度为j+1的左右子节点：左子节点小于切分点的子区域，右子节点对于切分点的子区域。

         将坐在切分超平面上的实例点保存在该节点。

（3）知道两个子区域没有实例存在时停止，从而形成kd树的划分。

eg.的划分如下图

3.3.2搜索kd树

        给定一个目标点，搜索其最近邻。首先找到包含目标点的叶节点；然后从该叶节点出发，以此回退到父节点；不到查找与目标点最邻近的结点，当确定不可能存在更近的结点时终止。

算法3.3 用kd树的最近邻搜索

输入：已构造的kd树：目标点x；

输出：x的最近邻

（1）在kd树中找出包含目标点x的叶节点：从根结点出发，递归向下访问kd数。若目标点x当前维的坐标小于切分点

的坐标，则移动到左子节点，否则移动到右子节点，知道子节点为叶节点为止。

（2）以此叶节点为当前最近点

（3）递归的向上回退，在每个结点进行以下操作：

          a.如果该点保存的实例点比当前最近点距离目标点更近，则以该实例点为“当前最近点”

          b.当前最近点一定存在于该节点一个子节点对应的区域。检查盖子节点的另一子节点对应的区域是否有更近的点。具体地，检查另一子节点对应的区域是否与以目标点为球心、以目标点与当前最近点间的距离为半径的球体相交。如果相交，向上回退

（4）当回到根节点时，搜索结束。最后“当前最近点”即为x的最近点

eg.

上图搜索过程如下：首先在Kd树种找点包含点s的叶节点D,以D作为近似最邻近。真正最近邻一定在以点S为中心通过点D的圆的内部。然后返回节点D的父节点，在结点B的另一子节点F的区域内搜索最近邻。节点F的区域与圆不相交，不可能有最近邻点。继续返回上一级父节点A,在A的另一子节点C的区域内搜索最邻近，节点C的区域与圆相交；该区域在圆内的实例点有E，点E比点D更近，成为新的最近邻似。

补充：

交叉验证：基本思想是重复利用数据，把给定的数据进行切分，将切分的数据集组合成为训练集和测试集，在此基础上反复的进行训练，测试以及模型选择

1.简单交叉验证

   首先随机地将已给数据分为两部分，一部分作为训练集，另一部分作为测试集；然后用训练集在各种条件下（例如不同的参数个数）训练模型，从而得到不同的模型；在测试集上评价各个模型的测试误差，选出测试误差最小的模型。

2.S折交叉验证

    应用最多。方法如下：首先随机将已给数据切分为S个大小相同的子集；然后利用S-1个子集的数据训练模型，利用余下的子集测试模型；将这一过程对可能的S种选择重复进行；最后选出S次评测中平均测试误差最小的模型。

3.留一交叉验证

   S折交叉验证的特殊情形是S=N,称为留一交叉验证（leave-one-out cross validation）,往往在数据缺乏的情况下使用。