康拓展开 & 逆康拓展开

题目：给出n个互不相同的字符, 并给定它们的相对大小顺序,这样n个字符的所有排列也会有一个顺序.?现在任给一个排列,求出在它后面的第i个排列.这是一个典型的康拓展开应用，首先我们先阐述一下什么是康拓展开。

（1）康拓展开

　　所谓康拓展开是指把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!。（其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)）

（2）应用实例

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：

　　第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! ；

　　第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，即1未出现在前面的低位当中，所以只有一个数2 1*2! ；

　　第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，即1未出现在前面的低位当中，所以有0个数 0*1! ；

　　所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

代码实现：

[cpp] view plain copy

1. int kt(int s[],int n)//n表示该排列有n个数  
2. {  
3.     int sum = 0;  
4.     for(int i = 0; i < n; i++)  
5.     {  
6.         int temp = 0;  
7.         for(int j = i + 1; j < n; j++)  
8.           if(s[j] < s[i])  
9.              temp ++;  
10.         sum += f[n - 1 - i] * temp;//f[n]表示n的阶乘  
11.     }  
12.     return sum + 1;  
13. }  

练习：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=139

康托展开的逆运算：

{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序，要找出第16个数：

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1

所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

代码实现：

[cpp] view plain copy

1. void kt(int sum,int n)  
2. {  
3.     int i, j, s[5];  
4.     bool v[5]={0};  
5.     sum--;  
6.     for(i = 0;i < n; i++)  
7.     {  
8.         int t = sum / f[n - 1 - i];//f[n]表示n的阶乘  
9.         for(j = 0; j < n; j++)  
10.         {  
11.             if(!v[j])  
12.             {  
13.                 if(t == 0) break;  
14.                 t --;  
15.             }  
16.         }  
17.         s[i] = j;  
18.         v[j] = 1;  
19.         sum %= f[n - 1 - i];  
20.     }  
21. }  

练习：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=143