[线段树]讲义(1)
来源:互联网 发布:网络知识培训手机 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 13:43
在一类问题中,我们需要经常处理可以映射在一个坐标轴上的一些固定线段,例如说映射在X轴上的线段。由于线段是可以互相覆盖的,有时需要动态地取线段的并,例如取得并区间的总长度,或者并区间的个数等等。一个线段是对应于一个区间的,因此线段树也可以叫做区间树。在这类问题中,线段树的一个节点表示一段线段。
还有另外一类问题,线段树的每个节点表示一个点,称为点树,比如用于求第K小数的线段树。
线段树的构造思想
线段树是一棵二叉树,树中的每一个结点表示了一个区间[a,b]。每一个叶子节点表示了一个单位区间。对于每一个非叶结点所表示的结点[a,b],其左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2],右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。
线段树的每个节点上往往都增加了一些其他的域。在这些域中保存了某种动态维护的信息,视不同情况而定。这些域使得线段树具有极大的灵活性,可以适应不同的需求。
例:桌子上零散地放着若干个盒子,桌子的后方是一堵墙。如右图所示。现在从桌子的前方射来一束平行光, 把盒子的影子投射到了墙上。问影子的总宽度是多少?
这道题目是一个经典的模型。在这里,我们略去某些处理的步骤,直接分析重点问题,可以把题目抽象地描述如下:x轴上有若干条线段,求线段覆盖的总长度。
最直接的做法
设线段坐标范围为[min,max]。使用一个下标范围为[min,max-1]的一维数组,其中数组的第i个元素表示[i,i+1]的区间。数组元素初始化全部为0。
对于每一条区间为[a,b]的线段,将[a,b]内所有对应的数组元素均设为1。最后统计数组中1的个数即可。
缺点:此方法的时间复杂度决定于下标范围的平方。
当下标范围很大时([0,100000]),此方法效率太低。
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