统计学习方法 李航---第8章 提升方法

第8章提升方法

提升(boosting)方法是一种常用的统计学习方法，应用广泛且有效。在分类问题中，它通过改变训练样本的权重，学习多个分类器，并将这些分类器进行线性组合，提高分类的性能。

基本思想：对于分类问题而言，给定一个训练样本集，求比较粗糙的分类规则(弱分类器)要比求精确的分类规则(强分类器)容易得多。提升方法就是从弱学习算法出发，反复学习，得到一系列弱分类器(又称为基本分类器)，然后组合这些弱分类器，构成一个强分类器。大多数的提升方法都是改变训练数据的概率分布(训练数据的权值分布)，针对不同的训练数据分布调用弱学习算法学习一系列弱分类器。

8.1 提升方法AdaBoost（AdaptiveBoosting）算法

对提升方法来说，有两个问题需要回答：一是在每一轮如何改变训练数据的权值或概率分布；二是如何将弱分类器组合成一个强分类器。

关于第1个问题，AdaBoost的做法是，提高那些被前一轮弱分类器错误分类样本的权值，而降低那些被正确分类样本的权值。这样一来，那些没有得到正确分类的数据，由于其权值的加大而受到后轮的弱分类器的更大关注。于是，分类问题被一系列的弱分类器“分而治之”。

至于第2个问题，即弱分类器的组合，AdaBoost采取加权多数表决的方法。具体地，加大分类误差率小的弱分类器的权值，使其在表决中起较大的作用，减小分类误差率大的弱分类器的权值，使其在表决中起较小的作用。

  

算法步骤说明：

步骤2 (b) 表明G_m(x)在加权的训练数据集上的分类误差率是被G_m(x)误分类样本的权值之和，由此可以看出数据权值分布D_m与基本分类器G_m(x)的分类误差率的关系。

步骤2 (c)可知，当e_m<=1/2时，a_m>=0，并且a_m随着e_m的减小而增大，所以分类误差率越小的基本分类器在最终分类器中的作用越大。

(d) 更新训练数据的权值分布为下一轮作准备，式(8.4}可以写成

由此可知，被基本分类器G_m(x)误分类样本的权值得以扩大，而被正确分类样本的权值却得以缩小。.两相比较，误分类样本的权值被放大。

不改变所给的训练数据，而不断改变训练数据权值的分布，使得训练数据在基本分类器的学习中起不同的作用，这是AdaBoost的一个特点.

步骤(3)  所有系数a_m之和并不为1。利用基本分类器的线性组合构建最终分类器是AdaBoost的另一特点。

8.2  AdaBoost算法的训练误差分析

定理8.1 (AdaBoost的训练误差界) AdaBoost算法最终分类器的训练误差界为

这一定理说明，可以在每一轮选取适当的G_m使得Z_m最小，从而使训练误差下降最快。对二类分类问题，有如下结果:

定理8.2(二类分类问题AdaBoost的练误差界)

这里，r_m=1/2 - e_m

 

推论8.1 如果存在r>0，对所有m有r_m>=r，则

这表明在此条件下AdaBoost的训练误差是以指数速率下降的。

注意，AdaBoost算法不需要知道下界r。AdaBoost具有适应性，即它能适应弱分类器各自的训练误差率。

AdaBoost的训练误差分析表明，AdaBoost的每次迭代可以减少它在训练数据集上的分类误差率，这说明了它作为提升方法的有效性。

8.3  AdaBoost算法的解释

AdaBoost算法还有另一个解释，即可以认为AdaBoost算法是模型为加法模型、损失函数为指数函数、学习算法为前向分步算法时的二类分类学习方法。

前向分步算法(forward stagewise algorithm)

加法模型：

 

其中，b为基函数，r为基函数的参数，beta为基函数的系数。

前向分步算法同时求解从m=1到M所有参数的优化问题简化为逐次求解各个参数的优化问题.

 

前向分步算法与AdaBoost是等价的。

定理8.3  AdaBoost算法是前向分步加法算法的特例。这时，模型是由基本分类器组成的加法模型，损失函数是指数函数。

8.4 提升树

提升树是以分类树或回归树为基本分类器的提升方法。提升树被认为是统计学习中性能最好的方法之一。

 

 

提升树模型

提升方法实际采用加法模型(即基函数的线性组合)与前向分步算法。以决策树为基函数的提升方法称为提升树(boosting tree)。对分类问题决策树是二叉分类树，对回归问题决策树是二叉回归树。

基本分类器x<v或x>v，可以看作是由一个根结点直接连接两个叶结点的简单决策树，即所谓的决策树桩(decision stump)。

提升树模型可以表示为决策树的加法模型:

其中，T表示决策树，theta为决策树的参数，M为树的个数。

提升树算法

提升树算法采用前向分步算法。首先确定初始提升树f₀(x)=0，第m步的模型是

其中，f_m-1(x)为当前模型，通过经验风险极小化确定下一棵决策树的参数。

不同问题的提升树学习算法主要区别在于使用的损失函数不同。包括用平方误差损失函数的回归问题，用指数损失函数的分类问题，以及用一般损失函数的一般决策问题。

对于二类分类问题，提升树算法只需将AdaBoost算法8.1中的基本分类器限制为二类分类树即可，是AdaBoost算法的特殊情况。

回归问题的提升树算法

 

当采用平方误差损失函数时，

在前向分步算法的第m步，损失变为，

其中是当前模型拟合数据的残差(residual)。

所以对回归问题的提升树算法来说，求解经验风险极小化的问题只需简单地拟合当前模型的残差。

 

梯度提升算法

 提升树利用加法模型与前向分步算法实现学习的优化过程。当损失函数是平方损失和指数损失函数时。每一步优化是很简单的。但对一般损失函数而言，往往每一步优化并不那么容易。针对这一问题，Freidmao提出了梯度提升(gradient boosting)算法。这是利用最速下降法的近似方法，其关键是利用损失函数的负梯度在当前模型的值

作为回归问题提升树算法中的残差的近似值，拟合一个回归树。

算法第1步初始化，估计使损失函数极小化的常数值，它是只有一个根结点的树，即 x>c 和 x<c；

第2 (a)步计算损失函数的负梯度在当前模型的值，将它作为残差的估计。对于平方损失函数，它就是通常所说的残差；对于一般损失函数，它就是残差的近似值。

第2 (b)步估计回归树叶结点区域，以拟合残差的近似值

第2 (c)步利用线性搜索估计叶结点区域的值，使损失函数极小化

第2 (d)步更新回归树。

第3步得到输出的最终模型。

 

 

来自为知笔记(Wiz)