大O符号与时间复杂度

大O符号

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1. 定义

大O符号（Big O notation）是用于描述函数渐进行为的数学符号。

也可以这么说：

用一个大O，在其括号()中，用另一个函数来描述原来的函数的数量级的渐进上界

计算机科学中，用于分析算法复杂性非常有用

2. 使用

这个符号有两种形式上很接近但迥然不同的使用方法：无穷大渐近与无穷小渐近。然而这个区别只是在运用中的而不是原则上的——除了对函数自变量的一些不同的限定， “大O”的形式定义在两种情况下都是相同的

分析算法复杂度时，用的O都代表无穷大渐进，表示n趋近于无穷大的情况

2.1 无穷大渐进

举例如下：

假设，解决一个规模为n的问题所花费的时间（或者所需步骤）可以表示为：

T(n) = 4n² - 2n + 2

当n越来越增大时，n²项将开始占主导地位，而其它各项可以被忽略（自然包括2）

例如：当n=500时，4n² 项是2n项的1000倍大，因此在大多数非精确场合下，省略2n项对表达式值得影响是可以忽略不计的

其实进一步看，与n²的指数相比其系数4（与指数增大相比系数是很小的）也是无关紧要的

这样，大O符号就记下剩余的部分，写作：
T(n)∈O(n²)

或者更常见的

T(n)=O(n²)

此时，我们就说该算法具有n²阶（平方阶）的时间复杂度

2.2 无穷小渐进

暂不描述

3. 常用函数阶

下表是在分析算法时常见的函数。这些函数都处于n趋近于无穷大的情况下，在这种情况下函数结果值增长的慢的在表上方。c是一个任意常数，重点是n

符号 名称（后面都要+个“阶”） O(1) 常数 O(log n) 对数，情况最多的底数为2（但也可能为其它），但是底数无关紧要，所以不明确说底数 O[(long n)^c] 多对数 O(n) 线性 O(n log^* n) log^* n为迭代对数 O(n log n) 线性对数 O(n²) 平方 O(n^c)，Interger(c>1) 多项式，有时叫“代数” O(cⁿ) 指数，有时叫“几何” O(n!) 阶乘，有时叫“组合”

时间复杂度

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时间复杂度的分析基本就是上边2.1，这里想说的是关于时间复杂的一些让我混淆的概念

1. 最坏时间复杂度

   一般来说，我们希望获得一个算法的时间效率下限。这就是所谓最坏时间复杂度，它是一个保证

2. 平均时间复杂度

   不过通常来说，我们碰到的问题情况应该是既不是最坏的也不是最好的，所以算下来是平均情况居多

   但是，平均情况经常不可能准确得到，所以通常它是指的一种数学期望值

3. 最好时间复杂度

   最好的情况就是待处理数据就是我们想要的数据形式，那么此时时间复杂度为：O(1)，但这没什么意义
   我并不是说最好时间复杂度是O(1)，可能是吧，但是一般认为：考虑最好情况下的复杂度没有意义

结论

1. 一般来说，当我们说“时间复杂度”时，一般指的是平均时间复杂的

2. 如果明确说“最坏”、“平均”或者“最好”那么就没有异议