算法（1）整数划分问题之递归解决

  今日，阅读《ACM/ICPC 算法训练》时，发现一道名为“整数划分”的题，书上解释极为模糊，自己研究了一下此题，将其解决，记录下解题思路，以备以后有用时快速理解；

  一，题意简述

  将整数表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+.....+nk;

  注意：4+2+2和2+4+2是同一种划分；

  求正整数n的不同划分个数；

  二，思路

  应用递归方法；

  首先，将最大加数nk不大于m的划分个数记为去q（n，m）；

  接着按照一贯思路，找出递归关系如下：

  ①当n=1或者m等于1时，显然划分数为1；

  ②当n<m时，划分数为q（n,n）（下面这种情况）;

  ③当n=m时，需要找出递归关系，即考虑两种情况：一种是含有m，划分数为1；一种是不含有m，即其中最大数为m-1，则划分数为q（n，n-1），找到递归关系，YEAH!!。可     知此时总划分数可表示为1+q（n，n-1）；

  ④当n>m时，按照类似的思路找出递归关系，即考虑两种情况：一种是含有m，划分数为q（n-m，m）；一种是不含m，划分数为q（n，m-1）；可知此时总划分数可表示为

  q（n-m，m）+q（n，m-1）;

   (注意理解q（n-m，m），在这里，减去一个m，使划分至少含有一个m，但是没要求一定只含有一个m，可能两个，可能三个，但是都包含在 对q（n-m，m）的再次划分        中，q（n，m）和q（n-m，m）的划分是同一方式，最大都可以是m，但是直到划分到终点才知道一共有多少个m)

  综上，得到递归关系；

  三，解决代码

     public class Main {

public static void main(String[] args) {
Scanner fin=new Scanner(System.in);
int n =fin.nextInt();
int m =fin.nextInt();
int result =q(n,m);
System.out.println(result);
}

//整数划分函数
public static int q(int n,int m){
if(n<1||m<1){
return 0;
}
else if(n==1||m==1){
return 1;
}
else if(n<m){
return q(n,n);
}
else if(n==m){
return q(n,m-1)+1;
}
else{
return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}
}
}

  四，测试结果

测试可知能实现所需功能。