Tarjan三大算法之双连通分量(割点,桥)
来源:互联网 发布:如何打开oracle数据库 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 08:30
Robert Endre Tarjan是一个美国计算机学家,他传奇的一生中发明了无数算法,统称为Tarjan算法。其中最著名的有三个,分别用来求解
1) 无向图的双连通分量
2) 有向图的强连通分量
3) 最近公共祖先问题
接下来几篇博客将分别讲述三个算法,首先是无向图的双连通分量,我们先从无向图的割点和桥讲起。
下面介绍中无向图中割点和桥的概念:
割点:一个结点称为割点(或者割顶)当且仅当去掉该节点极其相关的边之后的子图不连通。
桥:一条边称为桥(或者割边)当且仅当去掉该边之后的子图不连通。
割点:
首先我们考虑一个连通图(非连通图可以分别考虑连通块),我们从任意一个起点开始进行深度优先搜索,可以得到一棵树,并且这棵树中所有结点的子树之间不存在边,即没有跨越两棵子树的边(考虑一下,如果存在,那么与深度优先搜索树的定义互相矛盾)。于是有如下定理:
在无向连通图G中,
1、根结点u为割顶当且仅当它有两个或者多个子结点;
2、非根结点u为割顶当且仅当u存在结点v,使得v极其所有后代都没有反向边可以连回u的祖先(u不算)
在Tarjan算法里面,有两个时间戳非常重要,一个是dfn,意为深度优先数,即代表访问顺序;一个是low,意为通过反向边能到达的最小dfn。于是,上述定理中第二个条件(非根结点)可以简单地写成low[v]>=dfn[u]。
代码如下:
int n,m,stamp,low[1005],dfn[1005],iscut[1005];vector<int> vec[1005];void tarjan(int index,int fa){ int child=0; low[index]=dfn[index]=++stamp; for(int i=0;i<vec[index].size();i++) { int tmp=vec[index][i]; if(!dfn[tmp]) { child++; tarjan(tmp,index); low[index]=min(low[index],low[tmp]); if(low[tmp]>=dfn[index]) iscut[index]=1; } else if(dfn[tmp]<dfn[index] && tmp!=fa) { low[index]=min(low[index],dfn[tmp]); } } if(fa<0 && child==1) iscut[index]=0;}
桥:
桥的求法其实也是类似的,它的求法可以看成是割顶的一种特殊情况,当结点u的子结点v的后代通过反向边只能连回v,那么删除这条边(u, v)就可以使得图G非连通了。用Tarjan算法里面的时间戳表示这个条件,就是low[v]>dfn[u]。
代码如下:
int n,stamp,dfn[1005],low[1005];int cnt,ansx[10005],ansy[10005];vector<int> vec[1005];int rank[1005];void addAns(int x,int y){ if(x>y) swap(x,y); ansx[cnt]=x, ansy[cnt]=y; cnt++;}void tarjan(int index,int fa){ int tmp; dfn[index]=low[index]=++stamp; for(int i=0;i<vec[index].size();i++) { tmp=vec[index][i]; if(!dfn[tmp]) { tarjan(tmp,index); low[index]=min(low[index],low[tmp]); if(low[tmp]>dfn[index]) addAns(index,tmp); } else if(dfn[tmp]<dfn[index] && tmp!=fa) { low[index]=min(low[index],dfn[tmp]); } }}
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