Tarjan求桥和割点与双连通分量【未成形】

一下许多内容摘自：

北京大学暑期课《ACM/ICPC竞赛训练》强连通分支、桥和割点 北京大学信息学院 郭炜

还有很多网上神牛们的讲解/论文。

不过可能在摘录，或者加自己的见解时产生错误，望指出，谢谢！

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之前只学了个强连通Tarjan算法，然后又摸了缩点操作；

然后今天在lightoj摸了一道模板题，是求所有桥的题；

然后发现，要把（割点，桥，双连通分量，最小割边集合，割点集合）都理一理呀！

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割点

在一个无向连通图里面，删除这个点+这个点所连出去的边，图变成了不连通，就说这个点是割点。

割边（桥）

如果删除某边后，图变成不连通，则称该边为桥。

求割点和桥

求割点：我遍历所有的点，判断一下图是不是不连通了。复杂度？？？（认真脸
因为暴力，所以优化啊。

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在深度优先遍历整个图的过程中形成一棵搜索树（思路和有向图求强连通分量类似 ）:
Dfn[u]定义和Tarjan算法一样，表示编号为i的节点在DFS过程中 的访问序号(也可以叫做开始时间）。
Low[u]定义为u或者u的子树中能够通过非父子边（父子边就是搜索树上的边），追溯到的最早的节点的DFS开始时间；

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等等，我们说这个Low[u]的定义与有向图的Tarjan算法不同，那，有向图Tarjan算法中Low[u]的定义是？
表示从i节点出发DFS过程中i下方节点(开始时间大于Dfn[i]，且由i可达的节点）所能到达的最早的节点的开始时间。初始时Low[i]=Dfn[i]。

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一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)
(1) 是树根（其实这个根就一个，就是最先进去的点），且u有多于一个子树。
(2) u不为树根，且存在(u,v)为树枝边（或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲），使得dfn(u) <= low[v];

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非树枝边不可能是桥
一条边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足dfn(u) < low(v)（前提是其没有重边）。

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伪代码

Tarjan(u){    dfn[u]=low[u]=++index;    for each (u, v) in E    {        if (v is not visted){            tarjan(v)            low[u] = min(low[u], low[v])            dfn[u]<low[v] <=> (u, v) 是桥        }       else        {            if(v 不是u 的父节点)                low[u] = min(low[u], dfn[v])        }    }    if (u is root)        u 是割点 <=> u 有至少两个子节点    else        u 是割点 <=> u 有一个子节点v，满足dfn[u]<= low[v]}

我斌模板理解：

const int N=1e4+10;const int M=2e4+10;struct Edge{    int to;    int next;};Edge q[M*2];int head[M*2],tol,n,m;int dfn[N],low[N];int ind,top;bool flag[N],vis[N];void init(){    tol=0;    memset(head,-1,sizeof(head));}void add(int u,int v){    q[tol].to=v;    q[tol].next=head[u];    head[u]=tol++;}void Tarjan(int u,int pre){    int v;    int son=0;    low[u]=dfn[u]=ind++;    vis[u]=true;    for(int i=head[u];i!=-1;i=q[i].next)    {        v=q[i].to;        if((i^1) == pre)//去重操作；这样处理是单单处理了“一条无向边”，两个结点的“多条边”的地位是等价的，            continue;   //如果你记录前驱结点，判断掉你只会处理两个结点的“多条边”其中的“一条边”        if(!dfn[v])        {            son++;            Tarjan(v,i);            if(dfn[u] < low[v])            {                //桥；            }            low[u]=min(low[v],low[u]);            if(u!=pre&&low[v]>=dfn[u])//不是树根，且存在(u,v)为树枝边。                flag[u]=true;        }        else            low[u]=min(low[u],dfn[v]);    }    if(pre==u&&son>1)//是树根，且存在两棵子树        flag[u]=true;}void qiugedian(){    //各种初始化；    memset(dfn,0,sizeof(dfn));    memset(low,0,sizeof(low));    memset(flag,0,sizeof(flag));    ind=1;    Tarjan(1,1);    //我们随便设个1作为树根，图上任意点都行，无所谓；    int ans=0;    for(int i=1;i<=n;i++)//计算割点个数        if(flag[i])            ans++;}

点双连通分量

割点集合：在无向连通图里，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合所有顶点相关联的边，原图变成多个联通块，就称这个点集称为最小割点集合（割集）。
点连通度：最小割点集合的顶点数。
点双连通分量：点连通度 > 1

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我*，长啥样啊！
图片来自知乎 PS: 双连通也称重连通

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求点双连通分支

求割点的过程中，顺便把每个点的点双连通分量求出来。
利用 栈 存当前的点双连通分支：
1. 树枝边（就是结点u连出的结点v的边，结点v还没有访问过）
2. 反向边（连到树中祖先的边）
如果遇到某 树枝边（u,v) 满足dfn(u)<=low(v)，说明u是一个割点，此时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。
割点可以属于多个点双连通分支。

边双连通分量

割边集合：在无向连通图里，如果有一个边集合，删除这个边集合，原图变成多个联通块，就称这个边集称为割边集合。
边连通度：最小割边集合中的边数。
边双连通分量：边连通度>1

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我*，又长啥样啊！

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求边双连通分支

把图中的所有桥求出，把桥边删除，原图就变成了多个连通块，则每个块就是一个边双联通分量。
桥不属于任何一个边双连通分支。