动态规划

 最近在学习动态规划问题，觉得很有意思，也很实用。把自己的想法和书上看到的知识分享下：

         动态规划顾名思义，就是在不断的解决之前的子问题中，最后得到了大问题的解，有点像分治方法，都是通过组合子问题来求解原问题。动态规划就是在不断尝试中前行，在尝试中我们可以保存已经成功的子问题，类似于我们把成功的事情总结出了经验或定理供下次使用。

        动态规划方法通常用来求最优化问题，注意可以取得最优，而贪心算法就不一定是最优的，当然有可能有多个最优解我们，我们找到的是一个最优解。

       构造一个动态规划算法一般分为4个步骤：

        1.刻画一个最优解的结构特征。            //分析阶段

        2.递归的定义最优解的值 。                  //分析阶段

        3.计算最优解的值                                  //考虑实现

        4.利用计算出的信息构造最优解             //考虑保存路径

      以钢条切割为例，给定一个一段长度为n米的钢条和一个价格表Pi（i=1..n）,求钢条切割方案，使得销售收益最大

      有两种考虑方案：

               1:完成钢条首次切割后，把钢条切割问题堪称连个独立的钢条切割问题，通过组合关于问题的最优解，并考虑所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大者，就构成了原问题的最优解。

               2.因为从左边切割下长度i的钢条（i在切割方案中，因为最后所有的切割结果都要按照切割出的i范围的大小出售，所以考虑左边所有的切割长度，即考虑了所有可能结果）

               显然第二个方法更简单易行，注意：如果没有记录已经算出的问题会造成大量的重复计算，让时间复杂度变成n的指数级，记录自问题最优解可是时间复杂度在O(n^2)

这是典型的用空间换时间

              自顶向下的递归实现，带备忘和和路径

memoized-cut-rod(p,n)    let r[0..n],s[0..n] be a new array    for i=0 to n    r[i] = -infinityreturn memoized-cut-rod-aux(p,n,r,s)memoized-cut-rod-aux(p,n,r,s)   if r[n]>=0      retrun r[n]   if n == 0      q = 0   else q=-infinity          for i =1 to n               q = max(p,p[i]+memoized-cut-rod-aux(p,n-i,r,s))    r[n]=q    s[n] = k    return q

         

     至底向上非递归实现

</pre><pre class="html" name="code">extended-bottom-up-cut-rod(p,n)    let r[0..n],s[0..n] be a new array    r[i] = 0    for j=1 to n       q= -infinity       for i=1 to j           if q<p[i]+r[j-1]               q = p[i] =r[j-i]               s[j] = i               r[j] = q     return r and s 输出路径：print-cut-rot-solution(p,n)    (r,s) = extended-bottom-up-cut-rod(p,n)    while n>0        print s[n]        n = n-s[n]