最长公共子序列问题 (LCS)

最长公共子序列问题 :  

1>给两个子序列A和B，求长度最大的公共子序列。例如1，5，2，6，8，7和2，3，5，6，9，8，4的最长公共子序列为5，6，8（另一个解是2，6，8）。

2>我们称序列Z = < z1, z2, ..., zk >是序列X = < x1, x2, ..., xm >的子序列当且仅当存在严格上升的序列< i1, i2, ..., ik >，使得对j = 1, 2, ... ,k, 有xij = zj。比如Z = < a, b, f, c > 是X = < a, b, c, f, b, c >的子序列。

现在给出两个序列X和Y，你的任务是找到X和Y的最大公共子序列，也就是说要找到一个最长的序列Z，使得Z既是X的子序列也是Y的子序列。

举个例子：cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢？很显然有2⁷个，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我们可以看出

子序列不见得一定是连续的，连续的那是子串。

     我想大家已经了解了子序列的概念，那现在可以延伸到两个字符串了，那么大家能够看出：cnblogs和belong的公共子序列吗？

在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？

从图中我们看到了最长公共子序列为blog，仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，

但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4。

思路如下面的图:

方案：既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。

第一步：先计算最长公共子序列的长度。

第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。

现有两个序列X={x₁,x₂,x_3，...x_i}，Y={y₁,y₂,y_3，....，y_i}，

设一个C[i,j]: 保存X_i与Y_j的LCS的长度。

动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景，可以有效的避免重复计算，根据上面的

公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度。

如下代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<iostream>using namespace std;int smax(int x,int y){return x >=y ? x : y;}int maxstr[10000][10000];char str1[1000],str2[1000];int main(){int len1,len2;while(scanf("%s%s",&str1, &str2)!=EOF){len1=strlen(str1);len2=strlen(str2);for(int i=0; i<=len1; ++i){maxstr[i][0]=0;//初始化边界，过滤掉0的情况}for(int i=0; i<=len2; ++i){maxstr[0][i]=0;}//填充矩阵for(int i=1; i<=len1; ++i){for(int j=1; j<=len2; ++j){if(str1[i-1]==str2[j-1])//相等的情况maxstr[i][j]=maxstr[i-1][j-1]+1;else if(maxstr[i-1][j] >= maxstr[i][j-1]){//比较“左边”和“上边“，根据其max来填充maxstr[i][j]=maxstr[i-1][j];}else{maxstr[i][j]=maxstr[i][j-1];}}}printf("%d\n",maxstr[len1][len2]);}return 0;}

参考博客：http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/11/11/2764625.html

参考博客：http://blog.csdn.net/chenwenshi/article/details/6027884