环的基本概念

定义和简单性质

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定义：
如果一个非空集合R上定义了两个二元运算+，⋅（加法和乘法）
1）(R,+)构成Abel群；
2）乘法分配律:
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c),∀a,b,c∈R;
3）分配律:
(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c,c⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b,∀a,b,c∈R,
则称R关于运算+，⋅构成一个环，记为(R;+，⋅)，或简记为 R.
4）若在环R中
乘法交换律:a⋅b=b⋅a,∀a,b∈R,
成立，则称R为交换环
若环中存在乘法幺元，则称R为幺环

加法群（R，+）的幺元通常记为0，元素a的加法逆元通常记为-a.乘法幺元通常记为1.

我们比较熟悉的环有整数环(Z;+,×)、域K上的一元多项式环K[x]、多元多项式环K[x1,...,xn]、偶数环(2Z;+,×)(不是幺环)、域K上的n阶全矩阵环Mn(k)(n>1时不时交换环)等.
如果一个环只有一个元素（必为0），则称之为零环

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0元素和负元素关于乘法有简单性质：
命题，设R是环，则
1）0a=a0=0,∀a∈R;
2）(−a)b=a(−b)=−(ab),∀a,b∈R
定义，设R为幺环，
a∈R,如果存在b∈R使得ba=1,则称b为a的左逆元。反之，右逆元

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定义，设R为幺环
a∈R.如果b∈R使得ba=ab=1
则称b为a的逆元，记为a−1,同时称a为可逆元或单位元.
na与an只是记号，容易验证ma+na=(m+n)a、aman=am+n及(ma)(nb)=mn(ab)
其中m，n为任意整数，a，b为环R的任意元素（只要记号有意义）

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在矩阵环中我们遇到过两个非零的矩阵相乘可以为零，这导致”零因子”的概念
如果∃b∈R∖{0}使得ab=0，则称a是R的一个左零因子
如果∃b∈R∖{0}使得ba=0，则称a是R的一个右零因子
如果a既是左零因子又是右零因子，则称a是R的一个零因子
在交换环中，显然左零因子和右零因子是一个概念

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定义，没有非零零因子的、至少含有两个元素的交换幺环称为整环
——至少含有两个元素，等价于0≠1

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子环、理想和商环

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定义
设(R;+,⋅)是环，S⊆R.如果(S;+,⋅)构成一个环，则称S为R的子环

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验证子集是子环
1）S非空
2）S关于加法构成群，即对于任意的a,b∈S,有a-b∈S；
3）S在乘法下封闭，即对于任意的a，b∈S，有a⋅b∈S
2Z是Z的子环，Z是Q的子环，Mn(R)是Mn(C)的子环

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子环作为环的加法子群当然有陪集，但是一般而言这种陪集的乘积不一定是陪集（这里的乘积的含义类似于群的子集的乘积，即对于环R的子集S，T，定义ST={st∣∣s∈S,t∈T}）
甚至不是任一陪集，例如Z作为Q的加法子群，其陪集中不可能同时含有整数和非整数（否则与”不同的陪集不相交”矛盾）

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但是{1+12}∈(12+Z)Z,所以(12+Z)Z不含于任一陪集，为了避免这种情形发生（进而在陪集集合上定义环结构），我们需要对于子环增加一些限制，而引入”理想“的概念，它在环论中的地位类似于正规子群在群论中的地位.

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定义
设(R;+,⋅)是环，I是R的加法子群，并且对于任意的r∈R,有rI∈I(相应地，Ir∈I),则称I是R的一个左(右)理想，双边理想或简称理想
显然左（右）理想都是子环

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命题
设I是R的理想，则对于任意的r,s∈R,有
(r+I)(s+I)⊆rs+I

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定义：，设R是M⊆R（允许M=∅）,则称R的所有包含M的理想的交为由M生成的理想记做（M）

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容易看出
(M)={∑有限nimi+njrjm′j+nkm′′ksk+ntutm′′tvt}
其中ni,nj,nk,nt∈Z,mi,m′j,m′′k,m′′′t∈M,rj,sk,ut,vt∈R
若R是幺环，则(M)={∑有限rimisi∣∣mi∈M,ri,si∈R}
若R是交换幺环，则(M)={∑有限rimi∣∣mi∈M,ri∈R}

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如果
(M)=I,我们称M为I的一个
生成系，或称I由M生成.可由一个元素a生成的理想G=(a)叫做主理想.可由有限多个元素生成的理想叫做有限生成理想

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定义，设I是环的理想，在I的加法陪集集合r+I∣∣r∈R上定义加法和乘法为
(r+I)+(s+I)=(r+s)+I,(r+I)(s+I)=(rs)+I
则此集合构成环，称为R关于I的商环，记为R/I

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由于（R，+）是Abel群，所以理想I是R的正规子群，故商环中加法是良定义的。
事实上，若r1+I=r+I,s1+I=s+I,则r1∈r+I,s1∈s+I
于是r1s1∈(r+I)(s+I)⊆rs+I即有r1s1+I=rs+I

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注意：此定义中的陪集的乘法与上面提到的环的子集的乘法不同.一般而言，陪集作为环的子集的乘积使这里定义陪集的乘积的子集
最简单的非平凡的商环的例子是整数环的剩余类环。域上的一元多项式环的商环尽管从环论的角度看并不复杂，但它有很多用途！

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环的同态和同构

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定义
环同态
φ(a+b)=φ(a)+φ(b),φ(a+b)=φ(a)φ(b)
环同构
φ既单又满射的同构

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若
φ(a+b)=φ(b)φ(a)
则称为反同态，类似的反同构

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像
imφ
核
kerφ={a∈R|φ(a)=0}

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命题
设φ:R→R1是环同态，则φ单⇆kerφ={0}

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命题
设φ:R→R1是环同态,则imφ是R1的子环，kerφ是R的理想

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同态基本定理
设φ:R→R1是环同态，则
R/kerφ≅imφ
推论
设φ:R→R1是环满同态，则
R/kerφ≅R1

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第一同构定理
设R是环，I是R的理想，则在典范同态
π:R→R/I
r↦r+I
1)R的包含I的子环与R/I的子环在π下一一对应;
2)在此对应下，理想对应理想;
3)若J是R的理想，且J⊇I，则
R/J≅(R/J)/(J/I)

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第一同构定理
设R是环，I是R的理想，S是R的子环，则I+S是R的子环，且
1)S∩I是S的理想，I是I+S的理想
2)(I+S)/I≅s/(s∩I)

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环的直和与直积

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设Ri(ii∈I)是环，这里I为指标集（可以是有限或无限集）.在Ri(ii∈I)的笛卡尔积上定义运算为按分量进行，所得到的环称为Ri(ii∈I)的（外）直积，记为∏i∈IRi。Ri(ii∈I)称为∏i∈IRi的直积因子.
∏i∈IRi的子集
{(...,ri,...)|ri∈Ri,除有限多个i之外都有ri=0}
构成的子环称为外直和
当I为有限集，直和与直积是一个概念

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对于任一i∈I,有自然环同态
li:Ri→∏i∈IRi
ri↦(...,0,ri,0,...)
和
li:∏i∈IRi→Ri
(...,0,ri,0,...)↦ri

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命题
设R是环，I1,I2是R的理想，R=I1+I2，则下述四条等价：
1）映射
σ:I1⊕I2→R
(a1,a2)↦a1+a2
是同构的;
2）R的任一元素表为I1,I2的元素之和表示法唯一
3）R的零元表为I1,I2的元素之和的表示法唯一
4）I1∩I2={0}
同理可推广至N