牛顿迭代法求数的平方根

转自：http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2268

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

根据牛顿迭代的原理，可以得到以下的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2

一般性的编程方法如下：

double sqr(double n) {     double k=1.0;     while(abs(k*k-n)>1e-9) {         k=(k+n/k)/2;     }     return k; }

求n的平方根，先随便取一个不是0的数作为迭代开始的x(0)，例如最简单的x(0)=1，然后反复代入x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]求得下一个x，代入次数越多解约精确。

例如，2的平方根：

• x(0) = 1
• x(1) = (1/2)(1+2/1) = 3/2 = 1.5
• x(2) = (1/2)[3/2+2/(3/2)] = 17/12 = 1.41666667
• x(3) = (1/2)[17/12 + 2/(17/12)] = 577/408 = 1.41421568…

就这样，反复代入上式计算，得到的值越来越精确。

或者这么解释：

1. 对x的平方根的值一个猜想y。
2. 通过执行一个简单的操作去得到一个更好的猜测：只需要求出y和x/y的平均值（它更接近实际的平方根值）。

例如，可以用这样方式去计算2的平方根。

猜想商平均值1 2/1=2 (2+1)/2 = 1.51.5 2/1.5=1.3333   (1.3333+1.5)/2 = 1.41671.4167 2/1.4167=1.4118  (1.4167+1.4118)/2=1.41421.4142     ...         ...

继续这一计算过程，我们就能得到对2的平方根的越来越好的近似值。

下面用C语言实现一遍：

#include "stdio.h"#include "math.h"int main(void){    double n,y=1.0;    printf("请输入一个需要求其平方根的数：");    scanf("%lf",&n);    // 反复代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]    while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)    {        y=1.0/2.0*(y+n/y);        printf( "y=%lf\n", y );    }    printf("平方根为%f\n",y);    return 0;}

程序运行结果：

请输入一个需要求其平方根的数：2y=1.500000y=1.416667y=1.414216平方根为1.414216请输入一个需要求其平方根的数：3y=2.000000y=1.750000y=1.732143y=1.732051平方根为1.732051

PS:Quake III（雷神之锤III）公开源码后，有人在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍，有兴趣的可以研究一下。不过这是后话了，

float Q_rsqrt( float number ){long i;float x2, y;const float threehalfs = 1.5F;x2 = number * 0.5F;y  = number;i  = * ( long * ) &y;        i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); y  = * ( float * ) &i;y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); #ifndef Q3_VM#ifdef __linux__assert( !isnan(y) ); #endif#endifreturn y;}