HYSBZ 2705

F - Longge的问题

Time Limit:3000MS     Memory Limit:131072KB     64bit IO Format:%lld & %llu

Submit Status Practice HYSBZ 2705

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

Hint

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

这道题如果直接求肯定要超时，改变一下思路，设满足GCD(m,n)=1这种情况有K种，用到欧拉函数求GCD（m/k,n/k）=1这种情况有几种即φ(n/k)，假设L种，则结果为k*L的累加，在欧拉函数中有这样的定义：

    在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。

     φ函数的值：

    φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n))其中p(1),p(2)…p(n)为x

的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。

     例如:

         φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;

         1 3 7 9

         φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;

         φ(49)=49×(1-1/7)=42;

欧拉函数：

欧拉函数模板   (1)直接求小于或等于n,且与n互质的个数:  int Euler(int n){    int ret=n;    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)     if(n%i==0)      {        ret=ret/i*(i-1);//先进行除法防止溢出(ret=ret*(1-1/p(i)))         while(n%i==0)          n/=i;     }    if(n>1)          ret=ret/n*(n-1);        return ret;}筛选模板:求[1,n]之间每个数的质因数的个数#define size 1000001int euler[size];void Init(){      memset(euler,0,sizeof(euler));  euler[1]=1;     for(int i=2;i<size;i++)       if(!euler[i])       for(int j=i;j<size;j+=i)       {       if(!euler[j])        euler[j]=j;        euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 } }

ac代码：

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<iostream>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;long long euler(long long m){int ret=m;for(int i=2;i*i<=m;i++){if(m%i==0){ret=ret/i*(i-1);while(m%i==0)m/=i;}}if(m>1)ret=ret/m*(m-1);return ret;}int main(){long long n,sum,q;while(scanf("%lld",&n)==1){sum=0;for(int i=1;i*i<=n;i++){if(n%i==0){sum+=i*euler(n/i);if(i*i<n)sum+=n/i*euler(i);}}printf("%lld\n",sum);}return 0;}